数値積分 — CAE用語解説

ざっくり言うと、FEMでは要素の剛性マトリクスを作るときに積分が必要なんだ。でも複雑な形状関数の積分を解析的に解くのは大変だから、「いくつかの代表点で関数の値を計算して、重みをかけて足し合わせる」という近似で済ませる。これが数値積分だよ。

いや、そこがミソでね。FEMで標準的に使われるGauss求積法では、積分点の位置と重みが数学的に最適化されてる。例えば2点のGauss積分なら3次多項式まで厳密に積分できる。n点で2n−1次の精度が出るから、最小限の計算で最大の精度が得られるわけだ。

単純にそうとも限らないのが面白いところでね。例えば8節点六面体要素で2×2×2のフル積分を使うと、曲げ変形のときに要素が硬くなりすぎる「シアロッキング」が起きることがある。逆に1×1×1の低減積分にすると、砂時計モード（アワーグラス）っていう非物理的な変形が出る。自動車の衝突解析なんかでは低減積分＋アワーグラス制御を使うのが定番だよ。

そこは要注意だね。アワーグラスエネルギーが全体エネルギーの5〜10%を超えたら結果を疑うべき。実務ではLS-DYNAやAbaqus Explicitで衝突解析をやるとき、必ずアワーグラスエネルギーの比率をチェックする。比率が大きいならメッシュを細かくするか、積分次数を見直す必要があるよ。

目安としては、曲げ主体の問題なら低減積分が有利で、体積変化を正確に捉えたい非圧縮性材料（ゴムなど）の問題ではフル積分が安全だ。関連する用語も押さえておくといい：

その意識が大事だよ。数値積分はFEMの「見えない裏方」だけど、ここを理解してるエンジニアとそうでない人とでは、トラブルシューティングのスピードが全然違うからね。