Runge-Kutta法 — CAE用語解説
Runge-Kutta法
常微分方程式の数値積分法
Runge-Kutta法って数値計算の基礎ってよく聞きますが、CAEとどう関係しますか？
常微分方程式（ODE）の数値解法で、時間積分が必要な問題すべてに関係する。CAEでは構造動解析・MBD（多体動力学）・制御系シミュレーション・化学反応速度計算などで使われている。4次のRunge-Kutta（RK4）が最もよく知られていて、精度と安定性のバランスが良い。
RK4って具体的にどんな計算をするんですか？
各タイムステップでk1〜k4という4つの勾配を計算して加重平均して次の状態を更新する。dy/dt = f(t,y) に対してk1 = f(t,y)、k2 = f(t+h/2, y+hk1/2)...という形で中間点を評価しながら精度を上げる手法だよ。1次（オイラー法）より圧倒的に精度が高くてほぼ同じ安定性を持つ。
陽解法・陰解法の使い分け
陽解法の欠点として剛性問題（stiff problem）って聞きますが、どういう意味ですか？
時定数が非常に異なる複数の現象が混在する問題（剛性問題、stiff ODE）では、速い現象（小さい時定数）の安定条件を満たすために非常に小さい時間刻みが必要になる。RK4のような陽解法はこれに対応しきれずに計算コストが膨大になる。化学反応速度（ns〜秒オーダーの反応が混在）や電気回路（RC・LC回路の時定数差）が典型例だ。
そういうときはどうするんですか？
陰解法（Implicit法）を使う。例えばBDF（後退差分公式）やCrank-Nicolson法は無条件安定で大きな時間刻みが使えるけど、各ステップで非線形方程式を解く必要がある。ABAQUS/StandardはBDFベースの陰解法で剛性問題に強い。一方ABAQUS/ExplicitのCDMはRunge-Kutta系の陽解法で衝突・爆発の短時間現象に向く。
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