スペクトル要素法 — CAE用語解説

普通のFEMが1次や2次の多項式で各要素内の解を近似するのに対して、スペクトル要素法は10次〜20次のような非常に高次の多項式基底を使う。しかもGauss-Lobatto-Legendre点に節点を配置するから、質量行列が対角化されて陽解法の効率が良い。同じ精度を出すのに通常FEMよりはるかに少ない要素数で済むんだ。

確かに工業用途よりは研究用途が多い。DNS（直接数値シミュレーション）で乱流の全スケールを解像するのに最適な手法で、Nek5000やNektar++というオープンソースコードが有名だよ。最近ではLESでも使われ始めていて、気象予測や地球マントル対流のシミュレーションにも応用されている。

高次多項式だから衝撃波のような不連続を含む問題ではGibbs現象（振動的な誤差）が出やすい。またメッシュは六面体ベースが基本で、複雑形状への対応が通常FEMの自動四面体メッシュに比べると難しい。あとプリ・ポスト処理ツールの対応も限定的だね。

同じ精度で比較するとイエスだね。例えば管内乱流のDNSで、2次FEMだと数億要素必要な問題がスペクトル要素法なら数十万要素で同等精度が出せる。ただし各要素内の自由度は多いから、要素数だけで計算コストを判断してはいけない。「自由度あたりの精度」で見ると圧倒的に有利なんだ。

FEMの延長線上にある手法だから、まずFEMの基礎を押さえた上で、DNSや高次要素との関連を理解するといいよ。

Nek5000はスパコンとの親和性も高いから、大規模DNSをやるなら有力な選択肢だよ。チュートリアルも充実してるから入門しやすいと思う。