弱形式離散化 — CAE用語解説

そうだ。偏微分方程式を直接離散化する強形式に対して、弱形式は方程式の両辺にテスト関数を掛けて積分することで微分の次数を下げた形式だ。FEMの定式化のほぼ全てがこの弱形式（または変分形式）を基礎にしている。

境界条件の取り扱いが自然になることと、解の連続性の要件が緩くなることだ。強形式では解が2回微分可能でないといけないが、弱形式では1回微分可能な関数空間で解を探せる。FEMの形状関数には低次の多項式を使えるから、実装が現実的になる。

密接に関係している。Galerkin法は弱形式のテスト関数と解の近似関数を同じ関数空間から取る方法だ。FEMではノード上に定義した形状関数（Nᵢ）を近似関数とテスト関数に使う。これを弱形式に代入して積分すると、剛性行列と荷重ベクトルからなる線形代数の連立方程式が得られる。

そうだ。連続的な偏微分方程式を有限個の未知数の連立方程式に変換する、これが離散化だ。弱形式離散化の手順は、弱形式を定義する→形状関数で近似する→要素ごとに積分する（要素剛性行列の計算）→全体剛性行列に組み立てる→境界条件を適用する→連立方程式を解く、という流れになる。

まさにそうだ。弱形式→Galerkin近似→有限要素離散化→剛性行列という流れは、FEMを理論から理解するための核心だ。この流れを一度きちんと手計算で追うと、なぜ形状関数を積分するのかが腑に落ちる。

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