振動・動解析の基礎 — 固有振動から乱雑振動・衝撃解析まで

Q: 実際の構造物の減衰比 ζ ってどのくらいなんですか？ 測定できるんですか？

溶接鋼構造物で ζ ≈ 0.01〜0.03（1〜3%）、コンクリート構造で ζ ≈ 0.05（5%）が経験値だ。測定は「半値幅法」か「対数減衰率法」が実務で多い。衝撃ハンマーで叩いて加速度計で応答を計測し、FRFから同定する実験モーダル解析が標準的な手法だよ。ゴムマウント系は ζ ≈ 0.1〜0.3 と高くなる。

Q: ということは、固有振動数を外力の周波数から離せば安全ってことですか？ どのくらい離せばいいんでしょう？

一般的な設計目標は固有振動数と加振周波数の間に±20〜30%の「回避帯域」を設けることだ。でも自動車のエンジンみたいに回転数が広範囲に変わる場合、全周波数域で回避するのは難しい。そこで逆に共振点を通過させつつ、十分な減衰で応答を制限する設計をすることもある。それがダイナミックダンパー（動吸振器）の考え方で、副次系を付加して主系の共振を2つに分裂させて応答を下げる手法だ。

Q: Ansysで「モード解析」を実行したら「1次固有振動数: 23.5 Hz」って出たんですが、これって何を意味するんですか？

その構造物が最もゆっくり（エネルギーが低い状態で）振れる振動数が 23.5 Hz ということだ。エンジンの回転数で言えば 23.5 × 60 = 1410 rpm 附近で共振する可能性がある。同時に表示されるモード形状（変形アニメーション）を見れば「どのように変形するか」がわかる。例えばシャシーの曲げモードが1次で出ているなら、その方向に加振源があるかどうかを確認するんだ。

カテゴリ: 基礎理論 | 2026-03-25 | NovaSolver Contributors

CAE visualization for vibration dynamics - technical simulation diagram — Vibration Dynamics

振動の基本概念

振動解析は「動的荷重（時間変化する力）に対して構造物がどう応答するか」を予測する解析です。静解析と違い、慣性力・減衰力・時間の概念が加わります。自動車、航空機、橋、家電製品 — あらゆるものが振動問題と無縁ではありません。

🧑‍🎓

先生、振動解析って何がわかるんですか？静解析と何が違うのかよくわからなくて...

🎓

一番大事な違いは「共振（resonance）」の有無だ。静荷重100Nと、同じ100Nの振幅を持つ動的荷重 — これが構造物の固有振動数に一致するとどうなるか？応答が理論上は無限大になる。つまり100Nでも建物が崩壊する。タコマナローズ橋の崩壊（1940年）は風による自励振動が原因だ。だから振動解析で「固有振動数がどこにあるか、外乱の周波数と重なっていないか」を確認するのが最重要だ。

1.1 振動の分類

分類軸	種類	説明
外力の有無	自由振動	初期変位/速度のみ与えて外力なし。固有振動数で振動
外力の有無	強制振動	持続的な外力で振動。定常応答と過渡応答が重なる
減衰の有無	非減衰振動	エネルギー消散なし。永続的に振動（理想）
	不足減衰	$\zeta < 1$: 振幅が減衰しながら振動。ほとんどの構造
	過減衰	$\zeta > 1$: 振動せずに指数的に減衰。防振マウント
自由度	SDOF	1自由度系。理論解析の基本
自由度	MDOF	多自由度系。FEMで離散化後は数百万自由度になる

1.2 固有角振動数と固有振動数

質量 $m$、ばね定数 $k$ の1自由度系の固有角振動数：

$$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad [\text{rad/s}]$$

固有振動数（Hz）と固有周期（s）：

$$f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} \quad [\text{Hz}], \qquad T_n = \frac{1}{f_n} = \frac{2\pi}{\omega_n} \quad [\text{s}]$$

1自由度（SDOF）系の詳細解析

2.1 運動方程式と解の形態

SDOF系の運動方程式：

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t)$$

減衰比 $\zeta = c / (2\sqrt{km}) = c / c_c$（$c_c = 2\sqrt{km}$ は臨界減衰係数）を導入すると：

$$\ddot{x} + 2\zeta\omega_n\dot{x} + \omega_n^2 x = \frac{f(t)}{m}$$

自由振動（$f=0$）の解：

条件	ζ値	解の形式	挙動
不足減衰	0 < ζ < 1	$x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$	減衰振動 ($\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$)
臨界減衰	ζ = 1	$x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_n t}$	最速で原点に戻る（振動なし）
過減衰	ζ > 1	$x(t) = Ae^{s_1 t} + Be^{s_2 t}$ ($s_{1,2}$ < 0)	ゆっくり原点に戻る（振動なし）

🧑‍🎓

実際の構造物の減衰比 ζ ってどのくらいなんですか？測定できるんですか？

🎓

溶接鋼構造物で ζ ≈ 0.01〜0.03（1〜3%）、コンクリート構造で ζ ≈ 0.05（5%）が経験値だ。測定は「半値幅法」か「対数減衰率法」が実務で多い。衝撃ハンマーで叩いて加速度計で応答を計測し、FRFから同定する実験モーダル解析が標準的な手法だよ。ゴムマウント系は ζ ≈ 0.1〜0.3 と高くなる。

2.2 正弦波加振の定常応答と共振

$f(t) = F_0 \sin\omega t$ の定常応答：

$$x(t) = \frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}} \sin(\omega t - \phi), \quad r = \frac{\omega}{\omega_n}$$

位相遅れ：

$$\phi = \arctan\left(\frac{2\zeta r}{1 - r^2}\right)$$

動的増幅係数（DAF, Dynamic Amplification Factor）:

$$\text{DAF}(r, \zeta) = \frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}$$

$r=1$（共振）時の応答：

$$\text{DAF}(1, \zeta) = \frac{1}{2\zeta}$$

減衰比 $\zeta = 0.01$ の鋼構造に共振が起きたとき、静的荷重の50倍の応答が発生します。

🧑‍🎓

ということは、固有振動数を外力の周波数から離せば安全ってことですか？どのくらい離せばいいんでしょう？

🎓

一般的な設計目標は固有振動数と加振周波数の間に±20〜30%の「回避帯域」を設けることだ。でも自動車のエンジンみたいに回転数が広範囲に変わる場合、全周波数域で回避するのは難しい。そこで逆に共振点を通過させつつ、十分な減衰で応答を制限する設計をすることもある。それがダイナミックダンパー（動吸振器）の考え方で、副次系を付加して主系の共振を2つに分裂させて応答を下げる手法だ。

2.3 過渡応答 — ステップ入力とインパルス応答

ステップ荷重 $f(t) = F_0 \cdot H(t)$（$H$: ヘビサイド関数）の応答（不足減衰）：

$$x(t) = \frac{F_0}{k}\left[1 - e^{-\zeta\omega_n t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\omega_d t\right)\right]$$

インパルス応答関数（グリーン関数）$h(t)$：

$$h(t) = \frac{1}{m\omega_d} e^{-\zeta\omega_n t} \sin\omega_d t, \quad t \geq 0$$

任意荷重の応答はデュアメル積分（畳み込み積分）で求められます：

$$x(t) = \int_0^t h(t-\tau) f(\tau) \, d\tau$$

多自由度（MDOF）系と固有値解析

3.1 運動方程式の行列形式

$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{u}} + \mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{f}(t)$$

FEMで離散化された構造物では $n$ 自由度（節点数×方向数）の行列になります。実用的な構造解析では $n = 10^4 \sim 10^7$ になります。

3.2 固有値問題

無減衰自由振動（$\mathbf{C}=\mathbf{0}$, $\mathbf{f}=\mathbf{0}$）を想定し、$\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi} e^{i\omega t}$ とおくと：

$$(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M})\boldsymbol{\phi} = \mathbf{0}$$

これが固有値問題。非自明解の条件：

$$\det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) = 0$$

$i$ 番目の固有振動数 $\omega_i$ と固有ベクトル（モード形状）$\boldsymbol{\phi}_i$ の対：

$\omega_i$ は小さい順に1次モード、2次モード、... と呼ぶ
$\boldsymbol{\phi}_i$ はモード形状で、振幅の相対的な分布を表す

3.3 モードの直交性と質量正規化

モードは質量マトリクス・剛性マトリクスに関して直交します：

$$\boldsymbol{\phi}_i^T \mathbf{M} \boldsymbol{\phi}_j = \delta_{ij}, \qquad \boldsymbol{\phi}_i^T \mathbf{K} \boldsymbol{\phi}_j = \omega_i^2 \delta_{ij}$$

（質量正規化した場合）

🧑‍🎓

Ansysで「モード解析」を実行したら「1次固有振動数: 23.5 Hz」って出たんですが、これって何を意味するんですか？

🎓

その構造物が最もゆっくり（エネルギーが低い状態で）振れる振動数が 23.5 Hz ということだ。エンジンの回転数で言えば 23.5 × 60 = 1410 rpm 附近で共振する可能性がある。同時に表示されるモード形状（変形アニメーション）を見れば「どのように変形するか」がわかる。例えばシャシーの曲げモードが1次で出ているなら、その方向に加振源があるかどうかを確認するんだ。

3.4 モード重ね合わせ法（モーダル重ね合わせ）

モード座標 $\mathbf{q}$ を導入し $\mathbf{u} = \boldsymbol{\Phi}\mathbf{q}$（$\boldsymbol{\Phi}$ はモード行列）とすると、連成 $n$ 自由度系が $n$ 個の独立した SDOF 方程式に変換されます：

$$\ddot{q}_i + 2\zeta_i\omega_i\dot{q}_i + \omega_i^2 q_i = \boldsymbol{\phi}_i^T \mathbf{f}(t), \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

実務では下位 $m$ 個のモード（$m \ll n$）だけで精度良く近似できるため、計算コストを大幅に削減できます（モード打ち切り）。

打ち切りモード数の目安：加振周波数の3倍以上の固有振動数まで取り込む。

実用的な数値積分法

4.1 Newmark-β 法

振動問題の時刻歴応答計算に最もよく使われる無条件安定の陰解法です。速度・変位の更新式：

$$\dot{\mathbf{u}}_{n+1} = \dot{\mathbf{u}}_n + [(1-\gamma)\ddot{\mathbf{u}}_n + \gamma\ddot{\mathbf{u}}_{n+1}]\Delta t$$

$$\mathbf{u}_{n+1} = \mathbf{u}_n + \dot{\mathbf{u}}_n \Delta t + \left[\left(\frac{1}{2}-\beta\right)\ddot{\mathbf{u}}_n + \beta\ddot{\mathbf{u}}_{n+1}\right]\Delta t^2$$

加速度の決定は $t_{n+1}$ での運動方程式を解くことで得ます：

$$\mathbf{K}_\text{eff} \mathbf{u}_{n+1} = \mathbf{f}_\text{eff}^{n+1}$$

$\mathbf{K}_\text{eff} = \mathbf{K} + \frac{\gamma}{\beta\Delta t}\mathbf{C} + \frac{1}{\beta\Delta t^2}\mathbf{M}$ は有効剛性マトリクスです。

4.2 陽解法（中心差分法）との比較

項目	陽解法（中心差分）	陰解法（Newmark-β）
安定条件	$\Delta t \leq \Delta t_{cr} = \frac{2}{\omega_{max}}$	なし（β≥1/4, γ≥1/2 なら）
ステップサイズ	最小要素サイズ/音速（非常に小さい）	励振周波数の 1/10〜1/20 程度
1ステップのコスト	非常に安い（行列分解不要）	高い（連立方程式を毎ステップ解く）
非線形・接触	扱いやすい	反復が必要
適した問題	衝撃・爆発（短時間・高周波）	地震・振動（長時間・低周波）
代表ソルバー	Abaqus/Explicit, LS-DYNA	Abaqus/Standard, Ansys Mechanical

4.3 HHT-α 法（高精度陰解法）

Hilber-Hughes-Taylorの $\alpha$ 法は Newmark-β 法を拡張し、高周波数成分を数値的に減衰させながら低周波数精度を保つ手法：

$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}_{n+1} + (1+\alpha)\left[\mathbf{C}\dot{\mathbf{u}}_{n+1} + \mathbf{K}\mathbf{u}_{n+1}\right] - \alpha\left[\mathbf{C}\dot{\mathbf{u}}_n + \mathbf{K}\mathbf{u}_n\right] = \mathbf{f}_{n+1-\alpha}$$

$-1/3 \leq \alpha \leq 0$: $\alpha = 0$ で Newmark 平均加速度法に帰着。$\alpha = -0.1$ 程度が実務の標準設定。

周波数応答解析（FRA）

5.1 周波数応答関数（FRF）

定常正弦波加振に対する応答の伝達関数。複素表示：

$$H(\omega) = \frac{X(\omega)}{F(\omega)} = \frac{1}{k - m\omega^2 + ic\omega} = \frac{1/k}{(1 - r^2) + i(2\zeta r)}$$

FRFの形式：

コンプライアンス（コンプライアンス FRF）： $H = X/F$ [m/N]
モビリティ（移動度）： $Y = \dot{X}/F$ [m/(N·s)]
インエータンス（イナータンス）： $A = \ddot{X}/F$ [m/(N·s²)]

🧑‍🎓

FRF って実験で測るんですか？ FEMの解析と何が違うんでしょう？

🎓

FRFは実験（インパルスハンマー試験やシェーカー加振）でも計測できるし、FEMでも計算できる。実務では両方比較するのが重要だ。FEMが実験FRFと大きく食い違うとき — 例えば固有振動数が10%以上ずれてる — はメッシュ品質・質量分布・境界条件のどれかがおかしいサインだ。この「実験モーダル vs 解析モーダルの相関確認（MAC値）」という検証作業が、自動車・航空機設計では必須のプロセスだよ。

5.2 減衰モデルの種類

モデル	数学表現	特徴	適用
粘性減衰	$c\dot{x}$	速度に比例。時間域で自然	流体阻力・ダッシュポット
構造減衰（ヒステリシス）	$ig k x$（複素剛性）	振幅に比例。周波数域で扱いやすい	金属の内部摩擦
レイリー減衰	$\mathbf{C} = \alpha\mathbf{M} + \beta\mathbf{K}$	モード直交性を保つ	FEM全般
クーロン摩擦減衰	$\mu N \text{sign}(\dot{x})$	非線形。振幅によらず一定	ジョイント・スライド部

5.3 MAC値（Modal Assurance Criterion）

解析モード $\boldsymbol{\phi}_i^\text{FEM}$ と実験モード $\boldsymbol{\phi}_j^\text{EXP}$ の相関係数：

$$\text{MAC}_{ij} = \frac{|\boldsymbol{\phi}_i^{\text{FEM},T}\boldsymbol{\phi}_j^\text{EXP}|^2}{(\boldsymbol{\phi}_i^{\text{FEM},T}\boldsymbol{\phi}_i^\text{FEM})(\boldsymbol{\phi}_j^{\text{EXP},T}\boldsymbol{\phi}_j^\text{EXP})}$$

$\text{MAC} \geq 0.9$：良好な一致。$\text{MAC} < 0.8$：モデル改善が必要。

ランダム振動

ロケットの発射振動、走行路面の凸凹、航空機の大気乱流など、時間域で記述しにくい「確率的な振動入力」に対する構造応答の予測がランダム振動解析です。

🧑‍🎓

ランダム振動ってどうやって評価するんですか？時刻歴がバラバラだから解析できないような気がして...

🎓

時間域では確かにバラバラだけど、周波数域に変換すると統計的な特性が表れる。それがパワースペクトル密度（PSD）だ。PSDはどの周波数にどれだけのエネルギーが含まれているかを示す。入力PSDが与えられたら、システムの伝達関数（FRF）を使って出力PSDを計算し、さらにRMS値（二乗平均平方根）を求めるのが基本的な流れだ。

6.1 パワースペクトル密度（PSD）

時間信号 $x(t)$ のPSD：

$$S_x(f) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} |X_T(f)|^2$$

$X_T(f)$ は $[-T/2, T/2]$ 区間のフーリエ変換。単位は [g²/Hz] や [m²/s³] など。

RMS値（二乗平均平方根）：

$$x_\text{rms} = \sqrt{\int_0^\infty S_x(f) \, df}$$

6.2 入力-出力の関係（Wiener-Khinchin定理）

線形システムの入力PSD $S_F$ と出力PSD $S_x$ の関係：

$$S_x(f) = |H(f)|^2 S_F(f)$$

SDOF系の応答RMS（白色雑音入力 $S_0 = \text{const}$）：

$$x_\text{rms} = \sqrt{\frac{\pi S_0 \omega_n}{2k^2}\left(\frac{1}{2\zeta}\right)} = \sqrt{\frac{\pi f_n S_0}{2k^2\zeta}}$$

6.3 3σ設計基準

ガウス分布を仮定した場合、ピーク値の出現確率：

ピーク値	超過確率	適用基準
$1\sigma = x_\text{rms}$	31.7%	通常設計には不十分
$2\sigma$	4.55%	一般設計
$3\sigma$	0.27%	航空宇宙・MIL規格の標準
$4\sigma$	0.0063%	高信頼性要求部品

ランダム振動解析の結果では通常、$3\sigma$ 値と材料の降伏応力を比較します：$3\sigma_\text{stress} \leq \sigma_Y / \text{SF}$（SF: 安全率）。

衝撃応答スペクトル（SRS）

7.1 SRSとは何か

衝撃入力（落下衝撃・爆発など）に対して、「さまざまな固有振動数を持つ SDOF 系がそれぞれ最大でどれだけ応答するか」を周波数の関数として表したものが衝撃応答スペクトル（Shock Response Spectrum, SRS）です。

$$\text{SRS}(\omega_n) = \max_t |x(t)|, \quad x(t) = \frac{1}{\omega_d}\int_0^t \ddot{u}_g(\tau) e^{-\zeta\omega_n(t-\tau)}\sin\omega_d(t-\tau)\,d\tau$$

7.2 代表的な衝撃パルス形状

パルス形状	定義	SRS の特徴
半サイン（Half-sine）	$a(t) = A\sin(\pi t/D)$, $0 \leq t \leq D$	低周波域で $A$ に漸近
矩形（Rectangular）	$a(t) = A$, $0 \leq t \leq D$	最大値 = $2A$（対称）
鋸歯波（Sawtooth）	線形増加 or 減少	高周波域で大きくなりやすい

🧑‍🎓

SRSってどういうときに使うんですか？ロケットとか宇宙機器だけですか？

🎓

宇宙機器が一番イメージしやすいけど、実は物流・輸送業界でもよく使われる。商品の輸送中の落下衝撃（30cm落下 ≈ 100G衝撃）に電子基板が耐えられるかを SRS で評価するんだ。IEC 60068-2-27（衝撃試験）や MIL-STD-810 では SRS の試験条件が規定されている。軍用機器・計測機器・医療機器では設計必須の評価手法だよ。

実務応用例

8.1 防振マウント設計

エンジンマウントの設計目標は「エンジン振動を車体に伝えない」こと。伝達率（TR: transmissibility）：

$$\text{TR} = \frac{|f_\text{transmitted}|}{|f_\text{input}|} = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}$$

$r > \sqrt{2}$（加振周波数が固有振動数の $\sqrt{2}$ 倍以上）で TR < 1 となり防振効果が現れます。自動車エンジン（アイドル: 700rpm = 11.7Hz）に対してマウント固有振動数を 5〜8Hz に設定することで、アイドル時の $r \approx 1.5$ 以上を確保します。

8.2 地震応答解析（免震構造）

建物の地震応答解析では地動加速度 $\ddot{u}_g(t)$ に対して：

$$m\ddot{x}_\text{rel} + c\dot{x}_\text{rel} + kx_\text{rel} = -m\ddot{u}_g(t)$$

免震構造では積層ゴム支承で固有周期を3〜5秒（$f_n = 0.2\sim0.3$ Hz）まで長周期化し、地震波の主要エネルギーが集中する1〜2Hz帯から離して応答を低減します。

8.3 NVH解析（騒音・振動・ハーシュネス）

自動車のNVH解析は最も大規模な振動解析の一つです：

車体剛性（BIW固有振動数）： 通常 30〜50Hz — エンジン2次の加振（アイドル700rpm → 23Hz）と干渉しないよう管理
パネルの音響放射効率： ダッシュパネル・フロアパネルの振動 → 車室内音圧の連成解析（構造音響連成）
サブフレームの伝達経路解析（TPA）： 路面 → タイヤ → サスペンション → 車体の振動伝達経路を特定

振動・動解析の基礎 — 固有振動から乱雑振動・衝撃解析まで

振動の基本概念

1.1 振動の分類

1.2 固有角振動数と固有振動数

1自由度（SDOF）系の詳細解析

2.1 運動方程式と解の形態

2.2 正弦波加振の定常応答と共振

2.3 過渡応答 — ステップ入力とインパルス応答

多自由度（MDOF）系と固有値解析

3.1 運動方程式の行列形式

3.2 固有値問題

3.3 モードの直交性と質量正規化

3.4 モード重ね合わせ法（モーダル重ね合わせ）

実用的な数値積分法

4.1 Newmark-β 法

4.2 陽解法（中心差分法）との比較

4.3 HHT-α 法（高精度陰解法）

周波数応答解析（FRA）

5.1 周波数応答関数（FRF）

5.2 減衰モデルの種類

5.3 MAC値（Modal Assurance Criterion）

ランダム振動

6.1 パワースペクトル密度（PSD）

6.2 入力-出力の関係（Wiener-Khinchin定理）

6.3 3σ設計基準

衝撃応答スペクトル（SRS）

7.1 SRSとは何か

7.2 代表的な衝撃パルス形状

実務応用例

8.1 防振マウント設計

8.2 地震応答解析（免震構造）

8.3 NVH解析（騒音・振動・ハーシュネス）

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振動・動解析の基礎 — 固有振動から乱雑振動・衝撃解析まで

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1.2 固有角振動数と固有振動数

1自由度（SDOF）系の詳細解析

2.1 運動方程式と解の形態

2.2 正弦波加振の定常応答と共振

2.3 過渡応答 — ステップ入力とインパルス応答

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3.1 運動方程式の行列形式

3.2 固有値問題

3.3 モードの直交性と質量正規化

3.4 モード重ね合わせ法（モーダル重ね合わせ）

実用的な数値積分法

4.1 Newmark-β 法

4.2 陽解法（中心差分法）との比較

4.3 HHT-α 法（高精度陰解法）

周波数応答解析（FRA）

5.1 周波数応答関数（FRF）

5.2 減衰モデルの種類

5.3 MAC値（Modal Assurance Criterion）

ランダム振動

6.1 パワースペクトル密度（PSD）

6.2 入力-出力の関係（Wiener-Khinchin定理）

6.3 3σ設計基準

衝撃応答スペクトル（SRS）

7.1 SRSとは何か

7.2 代表的な衝撃パルス形状

実務応用例

8.1 防振マウント設計

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