オイラーの座屈荷重の公式と端末条件係数 K の値は？

オイラーの臨界座屈荷重は P_cr = π²EI / (KL)² で表されます。端末条件係数 K は、両端ピン：K=1.0、一端固定・他端自由（片持ち柱）：K=2.0、両端固定：K=0.5、固定-ピン：K≈0.7 です。K が小さいほど柱は拘束が強く、同じ長さでも高い荷重まで座屈しません。例えば両端固定の柱は両端ピンに比べ4倍の座屈荷重を持ちます。

オイラー式が適用できる細長比の条件は何ですか？

オイラー弾性座屈式は細長比 λ = KL/r（r：断面の回転半径 = √(I/A)）が概ね 100 以上の「長柱」に有効です。λ < 100 の短柱・中柱では降伏応力による圧縮破壊が先行するため、Johnson 式（σ_cr = σ_y[1 − σ_y(KL/r)²/(4π²E)]）など非弾性座屈式を使用します。このツールは λ < 100 のとき警告を表示します。

円管断面はなぜ軸圧縮に有利ですか？

円管（外径 D、内径 d）の断面二次モーメントは I = π(D⁴ − d⁴)/64 で、材料を外周部に集中させることで断面積あたりの I を最大化できます。同じ断面積の中実円棒と比べると、中空比（d/D）を高くするほど回転半径 r が大きくなり、座屈荷重が増します。ただし D/t（径厚比）が大きくなると局部座屈が先行するため注意が必要です。

座屈荷重と柱の長さの関係はどうなりますか？

オイラー式 P_cr = π²EI/(KL)² より、臨界荷重は有効長さ KL の2乗に反比例します。柱の長さが2倍になると座屈荷重は1/4に低下します。このツールの P_cr vs L グラフ（対数スケール）では傾き −2 の直線となります。設計上は端末条件の改善（例：両端ピン→両端固定で K: 1.0→0.5、P_cr 4倍）が長さ変更よりも効果的な場合があります。

› オイラー座屈荷重計算ツールシミュレーター集

座屈解析ツール

オイラー座屈荷重シミュレーター

断面形状・端末条件・柱長さを変えて臨界座屈荷重をリアルタイム計算。座屈モード形状とP_cr–L関係を同時可視化します。

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$$

パラメータ設定

ヤング率 E 200 GPa

断面形状

断面二次モーメント I = —

柱の長さ L 2.0 m

端末条件

臨界荷重 P_cr

—

有効長さ KL

—

断面二次モーメント I

—

m⁴

細長比 KL/r

—

（> 100 でオイラー有効）

座屈モード形状

上下ドラッグで柱の長さ L を変更

P_cr vs L（対数スケール）

理論 — オイラー座屈

基本式

$$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$$

Kは端末条件によるアーム係数

端末条件係数 K

両端ピン: K=1.0
一端固定・他端自由: K=2.0
両端固定: K=0.5
固定-ピン: K≈0.7

円形断面の I

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\quad I_{tube}=\frac{\pi(D^4-d^4)}{64}$$

適用範囲

オイラー式は細長比 KL/r > 100 の長柱に有効。短柱は降伏応力 σ_y による圧縮破壊が先行する。

KL/r < 100 → Johnson式を使用

計算例

計算例：スチール製円管柱の座屈荷重

スチール製円管（外径60mm、肉厚3mm、長さ2m）の座屈荷重を計算します。

材料：鋼材（E = 206 GPa）
断面二次モーメント：I = π(D⁴−d⁴)/64 ≈ 2.73×10⁻⁷ m⁴
端条件：両端ピン（K = 1.0）
座屈荷重：P_cr = π²EI/(KL)² = π²×206×10⁹×2.73×10⁻⁷ / (1.0×2)² ≈ 69.5 kN

細長比 KL/r = 2000/22.6 ≈ 88（< 100）なので Johnson 式も確認することを推奨します。

オイラー座屈荷重シミュレーター

基本式

端末条件係数 K

円形断面の I

適用範囲

計算例

計算例：スチール製円管柱の座屈荷重

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