反復カップリング法

反復カップリングの理論基礎

共役熱伝達と界面条件

共役熱伝達（CHT: Conjugate Heat Transfer）は、流体の対流と固体の熱伝導を界面で結合して解く問題です。界面 \( \Gamma \) では2つの条件が同時に成り立つ必要があります。

$$ T_f = T_s \quad (\text{温度の連続}), \qquad -k_f \frac{\partial T_f}{\partial n} = -k_s \frac{\partial T_s}{\partial n} \quad (\text{熱流束の連続}) $$

この2条件をどう満たすかで解法が分かれます。モノリシック法は流体と固体を1つの方程式系に組んで同時に解く方法、分離（パーティション）法は流体ソルバーと固体ソルバーを別々に走らせ、界面で情報を交換する方法です。反復カップリングは分離法の一種で、同一時刻（または定常解）内で両ソルバーの交換を収束するまで繰り返す——分離法の柔軟性（実績あるソルバーをそのまま使える）とモノリシックの厳密性（界面条件を収束させる）を両取りする位置づけです。

Dirichlet-Neumann分割の仕組み

安定性を決めるのは物性比

D-N反復の安定性は、界面を挟む両媒体の熱的な「強さ」の比で決まります。定常問題では界面の熱抵抗比（伝導コンダクタンス比）、非定常問題では熱浸透率 \( b = \sqrt{k \rho c_p} \) の比が支配パラメータです。経験則として、熱をよく通す側（通常は金属固体）に熱流束を、通しにくい側（流体）に温度を渡す構成が安定で、逆向きは発散しやすくなります。金属×空気のように物性比が極端な組合せは安定余裕が大きい一方、樹脂×水のように熱浸透率が拮抗する組合せでは、どちら向きでも減衰が遅く、後述の緩和・加速が必須になります。

アルゴリズムの数値手法

反復ループの基本形と収束判定

時刻 \( t^{n+1} \)（または定常解）に対する反復カップリングのループは次の形です。

1. 流体ソルバーを界面温度 \( T_\Gamma^{(k)} \) で解き、界面熱流束 \( q_\Gamma^{(k)} \) を取得
2. 固体ソルバーを \( q_\Gamma^{(k)} \) で解き、新しい界面温度 \( \tilde{T}_\Gamma^{(k+1)} \) を取得
3. 緩和を掛けて更新: \( T_\Gamma^{(k+1)} = (1-\omega) T_\Gamma^{(k)} + \omega \tilde{T}_\Gamma^{(k+1)} \)
4. 界面残差 \( \| T_\Gamma^{(k+1)} - T_\Gamma^{(k)} \| \) が判定値以下になるまで繰り返し

収束判定は界面温度の変化だけでなく、両側の熱流束の一致（積分値の相対差が0.1〜1%以下）まで確認するのが堅実です。温度が動かなくなっても熱流束が食い違ったままなら、それは収束ではなく停滞です。

緩和と加速——固定ω・Aitken・準ニュートン

非適合メッシュ間のデータマッピング

流体と固体で界面メッシュの細かさは通常大きく異なります（流体側が桁で細かい）。界面データの補間は、温度のような強度量には形状関数補間で十分ですが、熱流束の受け渡しは保存的マッピング（積分熱量が一致する重み付け）を使わないと、界面でエネルギーが漏れます。マッピング誤差は反復では消えない系統誤差なので、カップリング設定の検証項目として「界面通過熱量の両側一致」を必ず測定します。

実務適用の指針

定常CHTの進め方

定常問題では、①流体単独（壁を断熱または推定温度で）を先に部分収束させる、②固体を推定熱伝達率で予熱しておく、③その状態からカップリング反復を開始する、という初期値の作り込みが反復数を大きく減らします。いきなり冷えた固体と一様流体から始めると、初期の大きな不整合が反復を暴れさせます。カップリング頻度（流体を何反復回すごとに交換するか)も調整対象で、流体側を回しすぎると1交換あたりのコストが無駄になり、少なすぎると未収束の熱流束を渡して振動の種になります。

非定常CHTと時間スケール差

CHT最大の実務的特徴は、流体と固体の時間スケールが桁違いなことです（流体の対流時間: ミリ秒〜秒、固体の熱拡散時間: 分〜時間）。固体の温度履歴を追いたいのに流体のCFL制約で時間刻みが縛られると計算が破産します。定石は次の通りです。

• 準定常アプローチ — 固体の大きな時間刻みごとに、流体を定常解析として解き直す（流体が固体より十分速く応答する場合に有効）
• サブサイクリング — 固体1ステップの間に流体を多数ステップ進め、時間平均熱流束を渡す
• 各時刻で反復（強連成） — 熱浸透率が拮抗して弱連成が不安定な場合。1時刻あたり2〜5回の反復で界面残差を落とす

検証チェックリスト

• 界面熱流束の積分値が流体側と固体側で一致するか（相対差1%以下）
• 系全体のエネルギー収支（入熱＝出熱＋蓄熱）が成立するか
• カップリング収束判定を1桁厳しくして結果が変わらないか
• 流体側の壁面解像（y+と壁処理）が熱伝達率の精度要求に見合うか
• 非定常では時間刻み・サブサイクル数を半分にして固体温度履歴が変わらないか

主要ツールの対応状況

ツール別の実装

内蔵CHTと分離連成、どちらを選ぶか

同一コード内で固体領域を扱える場合（Fluent・STAR-CCM+・chtMultiRegionFoam）は、界面の整合がコード側で保証されるため第一選択です。分離連成（System Coupling・preCICE）を選ぶべきなのは、①固体側で非線形構造・材料の専用機能が必要、②既存の検証済み固体モデルを再利用したい、③流体と固体で別チーム・別ツールが確立している、のいずれかの場合です。分離連成は柔軟な代わりに、本記事で述べた安定性・マッピング・収束判定の管理責任がユーザー側に来ることを覚悟して選びます。

先端研究の動向

界面ヤコビアン近似の高度化

準ニュートン系（IQN-ILS・IQN-IMVJ等）の研究は、流体構造連成（FSI)で発展した手法がCHTへ展開される構図で進んでいます。複数時間ステップの履歴を再利用するマルチベクトル法、界面の物理を模した表面演算子による前処理など、「反復回数を物性比によらず数回に抑える」方向の改良が続いています。強連成が必要な問題ほど恩恵が大きく、カップリングライブラリ経由で実務にも降りてきています。

時間スケール分離の数理と多重時間法

流体と固体の時間スケール差を正面から扱う多重時間スケール法（異なる時間刻みでの同期・補間の高次化）や、周期定常（ターボ機械の回転周期）を直接解く時間スペクトル法とCHTの組合せが研究されています。エンジン・ガスタービンの熱管理のように「秒スケールの流体×時間オーダーの熱慣性」を扱う産業問題が駆動力です。

機械学習サロゲートによる連成加速

反復のたびに高価な流体解析を回す代わりに、界面温度→界面熱流束の応答をサロゲート（GP・NN）で近似して反復を加速し、最終確認だけ実ソルバーで行う研究が進んでいます。設計最適化のループ内CHTのような繰り返し文脈で特に有効です。サロゲートの守備範囲を外れた状態（学習域外の温度レンジ）での劣化検知が実用化の鍵で、クリギングの予測分散を監視に使う構成が相性の良い組合せです。

トラブル対応

症状別の原因と対策

不安定の切り分け手順

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