直接連成（モノリシック）とは何ですか？

流体と固体の方程式を、界面の条件も含めて1つの大きな方程式系にまとめ、同時に解く方法です。界面の温度と熱流束が毎回自動的に一致するので、流体と固体を交互に解いてやりとりする分離型のような、行き来の反復や収束の問題が起きません。そのかわり、1つの行列が大きくなり、流体と固体で別のソフトを組み合わせることは難しくなります。

分離型の反復はなぜ発散することがあるのですか？

流体に界面温度を渡して熱流束を受け取り、固体にその熱流束を渡して界面温度を受け取る、という反復では、1回ごとに誤差が固体と流体の熱抵抗の比（R_s/R_f）倍になります。比が1より小さければ収束、大きければ発散です。計算例では比0.1で7回、0.9で168回かかり、1.1と10では発散しました。

分離型でも安定に解けますか？

緩和係数（更新量を何割にするか）を使えば収束させられます。最適な緩和係数は 1/(1 + R_s/R_f) で、1次元の例では1回で収束しました。また、温度と熱流束を渡す向きを入れ替えると、比が大きいときに収束します（比10で8回）。ただし実際の問題では最適値が場所や時間で変わるので、Aitken法などで自動調整するのが一般的です。

直接連成（モノリシック）共役熱伝達

カテゴリ: 熱解析・共役熱伝達 | 2026-10-01 改稿

Monolithic conjugate heat transfer matrix system showing coupled solid-fluid temperature field

直接連成（モノリシック）共役熱伝達 ― 固体と流体の温度場を1つの連立方程式系で同時に解く

理論：一括で解くか、交互に解くか

概要

🙋

共役熱伝達で流体と固体を一緒に解く方法と、別々に解いてやりとりする方法がありますよね。結果は同じになるんですか？

🎓

収束すれば同じになる。問題は収束するかどうかだ。別々に解く分離型では、流体に界面の温度を渡して熱流束をもらい、固体にその熱流束を渡して新しい温度をもらう、という行き来を繰り返す。このとき誤差は1回ごとに、固体と流体の熱抵抗の比を掛けた大きさになる。比が1を超えると、行き来するたびに誤差が大きくなって発散する。直接連成は全部を1つの方程式で解くので、この問題がそもそも起きない。1次元の簡単なモデルで、何回で収束するか、いつ発散するかを数えてみよう。

分離型反復の誤差の増え方

$$ T_i^{(k+1)} - T_i^* = g\left(T_i^{(k)} - T_i^*\right),\qquad g = -\frac{R_s}{R_f},\qquad g_\omega = 1 - \omega\left(1 + \frac{R_s}{R_f}\right) $$

$T_i^*$ は正しい界面温度。$|g| < 1$ なら収束、$|g| > 1$ なら発散する。緩和係数 ω を使うと増幅率は $g_\omega$ になり、ω = 1/(1 + R_s/R_f) で0にできる。

直接連成の方程式

$$ \begin{pmatrix}\mathbf{A}_{ff} & \mathbf{A}_{fs}\\ \mathbf{A}_{sf} & \mathbf{A}_{ss}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{T}_f\\ \mathbf{T}_s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{b}_f\\ \mathbf{b}_s\end{pmatrix} $$

流体と固体の未知数を1つの行列にまとめ、界面の結合項 A_fs、A_sf も含めて同時に解く。行列は大きくなるが、界面での行き来は不要になる。

Coffee Break よもやま話

連成解析の2つの流儀

複数の物理を連成させる解析には、全部をまとめて解く『モノリシック』と、既存のソフトを組み合わせて交互に解く『分離型』の2つの流儀がある。分離型は、実績のある流体ソフトと構造ソフトをそのまま使えるので産業界で広まったが、収束の問題がつきまとう。1990〜2000年代に、緩和係数を自動で決めるAitken法や準ニュートン法が研究され、分離型でも安定に解けるようになってきた。一方、共役熱伝達の多くの商用CFDでは、固体を流体と同じメッシュの一部として直接連成で解いている。

計算例：1次元の共役熱伝達

高温側400℃、低温側300℃。流体側の熱抵抗を1とし、固体側の熱抵抗の比 R_s/R_f を変えた。界面温度の初期値は300℃、誤差1×10⁻⁶ Kで収束とした。

熱抵抗比 R_s/R_f	緩和なし	緩和 0.5	最適な緩和	向きを入れ替え
0.1	7 回	21 回	1 回（0.909）	発散
0.9	168 回	6 回	1 回（0.526）	発散
1.1	発散	6 回	1 回（0.476）	187 回
10	発散	発散	1 回（0.091）	8 回

直接連成では、どの比でも1回の線形計算で正しい界面温度が得られる。

🙋

熱抵抗の比がわずかに1を超えただけで発散するんですね。しかも向きを入れ替えると、今度は比が小さいときに発散します。

🎓

分離型では、温度を受け取る側と熱流束を受け取る側の熱抵抗の比で安定性が決まる。熱流束を受け取る側（ノイマン側）の熱抵抗が小さいときに安定する。だから、熱伝導率の高い金属と、熱伝達の悪い気体の組み合わせなら、固体に熱流束を渡す今の向きで安定だが、断熱材と液体のような組み合わせでは逆になる。問題に応じて向きや緩和係数を選ばないといけない。実際の3次元の問題では、比が場所ごとに違い、時間とともにも変わるので、決め打ちの緩和係数では対応しきれず、Aitken法で毎回自動調整したり、直接連成を使ったりする。直接連成は1回の計算が重いが、この心配がないのが強みだ。

選び方のポイント

1つのソフトで固体と流体を扱えるなら、直接連成を第一の選択にする。
分離型では、熱抵抗の小さい側に熱流束を渡す向きを選ぶ。
緩和係数は固定せず、Aitken法などで自動調整する。
界面の温度と熱流束の両方の残差を監視し、収束を確かめる。
非定常では、時間刻みごとに内部反復を十分に回す（弱連成で済ませない）。

Coffee Break よもやま話

「冷却水を変えたら計算が止まった」

ある電子機器の熱解析で、流体ソフトと伝熱ソフトを組み合わせた分離型の計算が、冷却媒体を空気から水に変えたとたんに発散した。水は熱伝達率が空気の何十倍も大きく、流体側の熱抵抗が急に小さくなって、固体との熱抵抗の比が1を大きく超えたのだ。温度と熱流束を渡す向きを入れ替え、緩和係数を自動調整にすると、再び収束した。分離型では、条件を少し変えただけで安定性が変わることがある。

よくある間違い

間違いと対策

間違い	起きること	対策
受け渡しの向きを考えない	発散	熱抵抗比で選ぶ
緩和係数を固定	遅い収束・発散	自動調整
温度だけで収束判定	熱収支のずれ	熱流束も確認
非定常で1回だけ受け渡し	時間方向の誤差	内部反復
界面メッシュの不一致	熱が保存されない	保存型の補間

🙋

関連する内容も知りたいです。

🎓

関連するページは反復連成、分離型解法、モノリシック解法、固体流体界面、共役熱伝達が参考になる。