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光学シミュレーター

エアリーディスク シミュレーター — 回折限界とレイリー分解能

波長 λ・開口直径 D・焦点比 F#・観測距離 R から、円形開口の回折限界角 θ=1.22λ/D、焦点面エアリー半径 r=1.22λ·F#、距離 R での分解能、中心ディスクエネルギー比を実時間に計算します。2D 回折パターンと 1D 強度プロファイルで望遠鏡・顕微鏡の解像度限界を直感できます。

パラメータ設定
波長 λ
nm
開口直径 D
mm
焦点比 F#
—
観測距離 R
m

既定値は λ = 550 nm（緑色可視光）、D = 100 mm（小型望遠鏡相当）、F#= 8（一般的な写真レンズ）、R = 1000 m。開口直径 D を大きくするほど回折角が小さくなり、より遠方の細部を分離できます。

計算結果
—
角分解能 θ_Airy
—
焦点面エアリー半径
—
距離 R での分解能
—
中心ディスクエネルギー比
2D エアリー回折パターン

中央の明るい円＝エアリーディスク／黒い同心円＝第 1・第 2 暗環（強度ゼロ）／その外側の薄い輪＝副環群。中心ディスク内に全光量の約 83.8% が集中。色は波長 λ に対応した可視光近似。

1D 強度プロファイル [2 J₁(x)/x]²

横軸＝中心からの半径 r [μm]（焦点面換算）／縦軸＝相対強度 I/I_0／青曲線＝エアリー関数 [2 J_1(x)/x]²／赤縦線＝第 1 暗環（エアリー半径）／黄色塗り＝中央ディスク領域。

理論・主要公式

円形開口（直径 $D$）を通過した波長 $\lambda$ の単色光が作るフラウンホーファー回折強度分布は、第 1 種ベッセル関数 $J_1$ で与えられます。

エアリー強度パターン（$x = (\pi D/\lambda)\sin\theta$）：

$$I(\theta) = I_0\left[\frac{2\,J_1(x)}{x}\right]^2$$

第 1 暗環の角半径（$J_1(x)$ の最初のゼロ点 $x=3.8317$）：

$$\theta_\mathrm{Airy} = 1.22\,\frac{\lambda}{D}$$

焦点距離 $f$、焦点比 $F\#=f/D$、観測距離 $R$ におけるエアリー半径：

$$r_\mathrm{focal} = 1.22\,\lambda\,F\#,\qquad r_R = \theta_\mathrm{Airy}\,R$$

レイリー分解能基準は 2 つの点光源が分離可能な最小角度差を $\theta_\mathrm{Airy}$ と定義します。中央エアリーディスク内には全光エネルギーの約 $83.8\%$ が集中（残りは副環）し、これは光学系の Strehl 比の理論上限の指標になります。

エアリーディスク シミュレーターとは

🙋
レンズで点を見ると、なんで「点」じゃなくて広がりのある明るい円になるんですか？光は完全に集光できないんでしょうか？
🎓
いいところに気づいた。それが「回折限界」と呼ばれる物理現象だ。光は波の性質を持つから、有限の直径 D を持つ円形開口（レンズや絞り）を通る瞬間に必ず広がってしまう。集光しても完全な点にはならず、エアリーディスクと呼ばれる中央の明るい円＋同心円状の暗環＋副環のパターンになる。中央ディスクの角半径は θ_Airy = 1.22 λ/D で、本ツールの既定値 λ=550 nm、D=100 mm では 6.71 μrad。これが「回折限界」だ。
🙋
具体的に望遠鏡でどれくらいの細かさが見えるんですか？口径が大きいほどよく見える、というのと関係しますか？
🎓
直結している。たとえば 100 mm 口径の屈折望遠鏡なら 6.71 μrad ≈ 1.4 角秒。これは 1000 m 先の 6.71 mm の物体を辛うじて分離できる解像度で、本ツールの「距離 R での分解能」がまさに 6.71 mm と表示されるはずだ。ハッブル宇宙望遠鏡は D=2.4 m で 0.05 角秒、ジェイムズ・ウェッブは D=6.5 m（赤外）で 0.1 角秒。地上望遠鏡は大気揺らぎで通常 1 角秒程度に制限されるが、補償光学を使えば回折限界に迫れる。本ツールで D を 1〜1000 mm まで動かすと、解像度が線形に向上する様子が見える。
🙋
F# というのはカメラレンズに書いてある F2.8 とか F8 のことですよね？これが分解能とどう関係するんですか？
🎓
そう、写真の F値そのものだ。F# = f/D で、焦点面（センサー位置）でのエアリー半径が r = 1.22 λ·F# になる。つまり F#=8、λ=550 nm では r ≈ 5.37 μm。最近のフルサイズデジカメの画素ピッチが 4〜6 μm なので、F#=8 ですでにギリギリ。F#=11 を超えると「回折ボケ」が画素を上回り、絞っても解像度は逆に落ちる。本ツールで F# スライダーを動かすと、焦点面エアリー半径が線形に変化する様子が分かる——プロカメラマンが「絞り過ぎは禁物」と言う物理的根拠だ。
🙋
「中心ディスクエネルギー比 84%」って、全パラメータを変えても変わらないんですね。何か特別な意味があるんですか？
🎓
鋭い観察だ。これは円形開口という形状の幾何学定数で、より厳密には 83.78%。ベッセル関数の積分 ∫_0^{3.8317} [2 J_1(x)/x]² x dx を全空間積分で正規化して得られる。残り 16.2% が外側の副環群に分散する。光学系の品質指標である「Strehl 比」（実測ピーク強度／回折限界ピーク強度）の理論上限もこれに関係する——収差ゼロの理想光学系でも、開口形状が円形である限り中央エネルギー比は 83.8% で頭打ち。アポダイゼーション（開口透過率の段階変化）でこの比を変えるのが、コロナグラフ等の高度設計テクニックだ。
🙋
レイリー基準と Sparrow 基準ってどう違うんですか？教科書にちらっと出てきたんですが…
🎓
どちらも「2 つの点光源が分離して見えるか」の基準だが定義が違う。レイリー基準は「一方のディスク中心が他方の第 1 暗環に重なる」（θ = 1.22 λ/D）で、合成プロファイルが約 26% のディップを持つ。Sparrow 基準はディップがちょうど消える（一直線になる）瞬間で θ ≈ 0.95 λ/D とより厳しい。Dawes 基準は 19 世紀の天文家による経験則で θ ≈ 1.02 λ/D。本ツールはレイリー基準を採用している——CCD 画像処理や視覚評価では、コントラスト次第でこれら 3 つの基準を使い分ける。

よくある質問

エアリーディスクとは、円形開口（レンズ・絞り・望遠鏡口径）を通過した光が波動性により広がってできる回折パターンの中央部の明るい円のことで、19 世紀に英国の天文学者 George Biddell Airy が解析的に導いたのが名前の由来です。強度分布は I(θ) = I_0 [2 J_1(x)/x]² の形を取り、x = (πD/λ)·sinθ で第 1 暗環（x = 3.8317）の位置がエアリー半径を決めます。中央ディスクには全エネルギーの約 83.8% が集中し、第 1 暗環の外側には弱い副環が同心円状に並びます。本ツールで λ・D を動かすと、回折パターンの大きさが λ/D に比例して変化することが直感できます。
レイリー基準とは、2 つの点光源が分離して見える最小角度差を「一方のエアリーディスクの中心が、もう一方の第 1 暗環に重なる」位置と定める分解能の定義で、Lord Rayleigh が 19 世紀末に提案しました。この最小角度は θ_min = 1.22 λ/D で、円形開口の回折限界そのものです。たとえば λ = 550 nm、D = 100 mm のとき θ_min ≈ 6.71 μrad（≈ 1.4 角秒）。1000 m 先で 6.71 mm 離れた 2 点が辛うじて分離できる計算で、本ツールの「距離 R での分解能」がこの値を直接出力します。実際の機器ではコントラスト比やノイズで限界が決まる Sparrow 基準・Dawes 基準も併用されます。
レンズの焦点距離 f と開口直径 D の比 F# = f/D は、焦点面でのエアリー半径 r_Airy = 1.22 λ·F# を直接決めます。これは θ_Airy = 1.22 λ/D に焦点距離 f をかけて r = θ·f = 1.22 λ·(f/D) = 1.22 λ·F# と簡単に導けます。例えば λ = 550 nm、F#=8 では r ≈ 5.37 μm。デジタルカメラのセンサー画素ピッチが約 4 μm 以下になると F#=11 以上で「回折ボケ」が画素を超えてしまい、絞り過ぎによる解像度低下が顕在化します。本ツールで F# を 1〜32 で動かすと焦点面エアリー半径が線形に変化することが確認できます。
円形開口の回折パターンを第 1 暗環で区切ると、中央のエアリーディスク内に全光エネルギーの約 83.8% が、残り約 16.2% が外側の副環群に分散します。この値はベッセル関数の積分 ∫_0^{3.8317} [2 J_1(x)/x]² x dx を全空間積分で正規化して得られる定数で、開口形状（円形）と回折公式の幾何のみで決まります。光学設計では Strehl 比（実測ピーク強度／回折限界ピーク強度）の上限としてもこの値が現れます。本ツールで全パラメータを変えても 84% は不変——形状定数なので λ・D・F#・R に依存しません——という点が物理的に重要です。

実世界での応用

天体望遠鏡の設計：口径 D を大きくすることが分解能向上の最も直接的な方法です。すばる望遠鏡（D=8.2 m）は可視光で約 0.014 角秒の回折限界を持ちますが、地上では大気揺らぎ（シーイング）で 0.5〜1 角秒に制限されるため、補償光学（AO）系で大気の波面歪みを実時間補正します。ハッブル宇宙望遠鏡（D=2.4 m）は宇宙空間で大気の影響がなく、回折限界 0.05 角秒に到達。ジェイムズ・ウェッブ（D=6.5 m、赤外 1〜28 μm）は赤外波長で 0.1 角秒。本ツールで D を 1 m〜10 m に設定すると、これら大型望遠鏡の理論限界が直感できます。

顕微鏡の解像度：光学顕微鏡では NA（開口数）= n·sinα で表現することが多いですが、これは F# と等価で、Abbe の解像度 d = 0.61 λ/NA はレイリー基準と同じ式です。たとえば油浸 100×（NA=1.4）、λ=520 nm では d ≈ 226 nm が古典限界。これを超えるためには STED・PALM・STORM 等の超解像顕微鏡技術が必要で、これらは異なる物理原理（蛍光分子の点滅・選択励起）を用いて 10〜50 nm の分解能を達成しています。本ツールで小さな D（数 μm）と短い λ を入れると顕微鏡領域の限界が見えます。

半導体リソグラフィ：EUV 露光装置（λ=13.5 nm、NA=0.33〜0.55）の理論最小線幅は λ/(2NA) ≈ 13 nm。実際は K1 係数（プロセス係数 0.3〜0.4）で半分程度に縮められますが、これが「回折限界＝チップ集積度の物理限界」を決めます。ASML 社の最新 High-NA EUV（NA=0.55）は 8 nm ノード以下を狙っており、これは円形開口エアリーディスクの直接的な応用例です。本ツールの λ・D・F# を組み合わせれば、開口数による線幅限界の概算が可能です。

カメラ写真の絞り設計：デジタルカメラで「F# を絞ると被写界深度は深くなるが、F#=11 を超えると逆に画像がボケる」現象は、エアリーディスクが画素ピッチを超えるためです。フルサイズセンサー（画素 6 μm）で λ=550 nm、F#=11 ではエアリー半径 7.4 μm > 6 μm となり、回折限界が解像度を支配。スマートフォン（画素 1 μm）では F#=2.0 でも限界に近づきます。本ツールの F# スライダーで「最適 F値」が機材構成で決まる物理を体感できます。

よくある誤解と注意点

最も多い誤解は、「レンズを高品質にすれば回折限界は超えられる」というものです。回折はレンズの作りの良し悪しではなく、光の波動性そのものから生じる物理限界で、どんなに収差をゼロにしても θ_Airy = 1.22 λ/D は超えられません。「ディフラクションリミテッド（回折限界品質）」は最高品質を意味する用語で、それ以上は不可能。短波長化（紫外線・X 線）か大口径化、もしくは超解像技術（励起光に空間変調を加える等の工夫）でしか突破できません。本ツールで λ を 200 nm に下げると分解能が 2.75 倍向上することが確認できます。

次に多いのが、「焦点比 F# だけで分解能が決まる」という勘違いです。焦点面でのエアリー半径は確かに 1.22 λ·F# だけで決まりますが、「角分解能（遠方の物体を見分ける能力）」は θ = 1.22 λ/D で決まり、これは F# とは独立で D だけが効きます。たとえば F#=8 で D=10 mm のレンズと D=100 mm のレンズは、焦点面ボケの大きさは同じ 5.37 μm ですが、角分解能は後者が 10 倍優れています。「焦点距離が短いほど解像度が良い」というのも間違いで、本ツールの 4 つのスライダーが独立に効くのを確認すると理解が深まります。

最後に、「エアリーディスクは円形開口にしか出ない」と思いがちですが、四角開口（一眼レフのミラー枠など）でも sinc² 型の縞模様、六角形開口（多くの絞り）でも六角形の星状スパイクが観測されます。「回折星条」と呼ばれる現象で、ハッブル画像の星に見られる尖ったスパイクは副鏡支持構造（スパイダー）の四角形回折です。エアリーディスクは「円対称回折」の特殊例。本ツールは円形開口のみを扱いますが、実機では開口形状そのものが回折パターンに直結することを覚えておいてください。

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