二分法 シミュレーター — 区間囲み込みによる根の探索

連続関数 f(x) について f(a)·f(b)<0（区間の両端で符号が反転している）という前提のもと、区間を中点で半分ずつ縮めて根を囲み込む数値解法。「絶対に発散しない」という最大の利点をもつ、最も古典的で最も頑健な根探索アルゴリズムの一つだよ。

二分法は、連続関数の中間値の定理（IVT: Intermediate Value Theorem）を直接アルゴリズムに翻訳したもの。f(a)·f(b)<0 ならば、区間 (a, b) 内に少なくとも1つの根が存在する。

$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2}$$

中点を計算し、その符号で根のある半区間を選ぶ：

$$[a_{n+1}, b_{n+1}] = \begin{cases} [a_n, c_n] & f(a_n)\,f(c_n) < 0 \\ [c_n, b_n] & f(a_n)\,f(c_n) > 0 \end{cases}$$

誤差の上界（線形収束）：

$$|c_n - x^{*}| \le \frac{b_0 - a_0}{2^{n+1}}$$

許容差 ε に達するまでの必要反復数：

$$N \ge \log_{2}\!\left(\frac{b_0 - a_0}{\varepsilon}\right)$$

つまり、毎反復で有効桁数は log₁₀(2) ≈ 0.301 桁ずつ増えていく。ニュートン法の「桁倍化」と比べると遅いが、初期値依存性がない強みがある。

非線形ソルバーの安全網（CAE）：Abaqus や ANSYS の非線形構造解析では、ニュートン・ラフソン反復が発散した場合のフォールバックとして二分法相当の区間縮小が使われる。アーク長法（Riks 法）の解析弧長決定でも、釣り合い経路と直交する制約方程式を二分法で解くケースがある。

状態方程式の逆解き（CFD・熱流体）：気体・液体の密度から圧力を求めるとき、p から ρ への陽な式はあっても ρ から p への逆関数が解析的に無いことが多い。SUPG/PISO/SIMPLE の各サブステップで、二分法やBrent 法で逆解きする。

接触解析の時刻刻み制御：陽解法FEMで、ある時刻ステップ中に節点が接触面を貫通した場合、貫通量がゼロになる正確な接触時刻 t* を二分法で探索する（ペナルティ法と組み合わせる場合もある）。

最適化のライン探索：勾配法やニュートン法の各反復で、ステップ幅 α を決める際に Wolfe 条件を満たす α を二分法的に探索する（黄金分割探索や Armijo 後退とセットで使われることが多い）。

まず一番よくある誤解は 「線形収束だから二分法は遅くて使えない」。確かに反復回数だけ見れば不利だが、1反復あたりの計算コストは「f(x) を1回評価するだけ」と非常に軽い。ニュートン法は f と f' を毎回計算し、CAE のような高次元問題ではヤコビ（剛性行列）の組立コストが圧倒的に高い。1反復あたりのコストで比べると、二分法の方が安いケースもある。

次に 「中間値の定理は単一の根を保証する」 という誤解。f(a)·f(b)<0 が保証するのは「区間内に 奇数個 の根がある」だけ。3個あるかもしれない。二分法は毎反復でその奇数を1つに絞っていくが、最初に取った区間にどの根が含まれていたかで最終的に収束する根が変わる。シミュレーターで a=−2, b=3 のように広い区間を取り、徐々に狭めるとどの根に収束するかが見える。

最後に 「f が連続でない場合」 の落とし穴。中間値の定理は連続関数にしか成立しない。f が不連続点を持ち、その不連続点で符号が反転している場合、二分法は「根が無いのに収束したように見える」結果を返す。例：1/x は x=0 を境に符号が変わるが、ここに根はない。実装で連続性のチェックを入れる、または事前に関数の特性を把握することが重要。