割線法 シミュレーター — 導関数なしの根の探索

方程式 f(x)=0 の解を、過去2点 (x_{n−1}, f(x_{n−1})) と (x_n, f(x_n)) を結ぶ「割線」が x 軸と交わる点を次の推定値とする反復解法。ニュートン・ラフソン法から導関数を取り除いた、導関数不要のシンプルな数値手法だよ。

割線法は、ニュートン・ラフソン法 x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f'(x_n) の f'(x_n) を、過去2点による有限差分商で近似したもの。

$$f'(x_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}$$

これを代入して整理すると、割線法の反復式が得られる：

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

幾何学的には、(x_{n−1}, f(x_{n−1})) と (x_n, f(x_n)) を結ぶ直線（割線）が x 軸と交わる点を次の推定値とする。

収束次数（誤差 e_n = x_n − x* について）：

$$|e_{n+1}| \approx \left|\frac{f''(x^{*})}{2f'(x^{*})}\right|\,|e_{n}|\,|e_{n-1}|, \quad \text{次数} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

つまり「黄金比」が自然と現れる。これが超線形収束（線形より速いが2次より遅い）の正体。

準ニュートン法（最適化・CAE）：多次元の F(x)=0 や ∇f(x)=0 を解くとき、ヤコビ行列やヘッセ行列を毎反復組み立てるのは高コスト。Broyden 法（求根用）と BFGS・L-BFGS（最適化用）は、過去の更新から J⁻¹ や H⁻¹ を漸近的に近似する。この発想は1次元の割線法の自然な多次元拡張。

Brent 法（汎用求根ルーチン）：scipy.optimize.brentq, MATLAB の fzero, Boost の brent_find_minima など、現代の汎用求根関数のデフォルトは Brent 法。これは二分法の確実性と割線法・逆二次補間の高速性を組み合わせたハイブリッド法で、根を挟む区間を入力すれば必ず収束する。

非線形構造解析（修正ニュートン法）：Abaqus や ANSYS の非線形 FEA では、剛性行列 K=∂R/∂u の組立とLU分解が支配的コスト。「修正ニュートン法」は K を数ステップ間使い回し、内部的には割線法に近い動作になる。BFGS 修正もよく使われる。

金融工学・暗黙のボラティリティ：Black-Scholes 式から市場価格に合うボラティリティ σ を逆算するとき、∂C/∂σ（Vega）を解析的に避けたい実装では割線法が使われる。多くのトレーディングシステムが内部でこのループを毎秒数千回回している。

まず多いのが 「割線法はニュートン法の劣化版」 という誤解。確かに収束次数は 1.618 vs 2 で割線法のほうが遅いが、1反復あたりの関数評価回数を考慮した「実効収束率」は割線法 ≈ φ ≈ 1.618、ニュートン法 ≈ √2 ≈ 1.414（f と f' を別々に評価する場合）で、なんと割線法のほうが速い。f の評価コストが f' と同等以上なら、割線法を選ぶ理由が十分ある。

次に 「2つの初期点なら根を挟むべき」 という早合点。割線法は f(x_0)·f(x_1)<0（根を挟む）を要求しない。しかし挟まないと、割線が根を超えて遠くに飛び、不安定な挙動になることが多い。シミュレーターで x_0=−2, x_1=−1 にしてみると、両方とも f<0 なので割線が下から右上方向を指し、いきなり遠くにジャンプする様子が観察できる。安全に使うなら、二分法で根を挟んだ後で割線法に切り替える Brent 法的な発想がベスト。

最後に 分母 f(x_n)−f(x_{n−1}) のゼロ除算。連続する2点で f の値がほぼ等しいと、分母が0に近づき更新量が爆発する。実装では分母の絶対値が閾値（例: 1e−14）を下回ったら反復を停止する、または2点の x をリセットする等の対策が必要。CAE の準ニュートン法でも、ヤコビ近似が悪化したら「再起動」する仕組みが組み込まれている。