二分法 模拟器 — 区间夹逼根搜索

针对连续函数 f(x)，在 f(a)·f(b)<0（区间两端符号相反）的前提下，通过中点逐次缩小区间来夹逼根的数值求解方法。\"绝不发散\"是其最大优势，也是最古老、最稳健的根搜索算法之一。

二分法将连续函数的中间值定理（IVT: Intermediate Value Theorem）直接转化为算法。当 f(a)·f(b)<0 时，区间 (a, b) 内必有至少一个根。

$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2}$$

计算中点，通过其符号选择含根的半区间：

$$[a_{n+1}, b_{n+1}] = \begin{cases} [a_n, c_n] & f(a_n)\,f(c_n) \lt 0 \\ [c_n, b_n] & f(a_n)\,f(c_n) \gt 0 \end{cases}$$

误差上界（线性收敛）：

$$|c_n - x^{*}| \le \frac{b_0 - a_0}{2^{n+1}}$$

达到容差 ε 所需的迭代次数：

$$N \ge \log_{2}\!\left(\frac{b_0 - a_0}{\varepsilon}\right)$$

即每次迭代有效数字增加 log₁₀(2) ≈ 0.301 位。与牛顿法的\"位数倍增\"相比较慢，但优点是无初值敏感性。

非线性求解器的安全网（CAE）：Abaqus、ANSYS 等非线性结构分析当牛顿-拉夫逊迭代发散时，会退而求其次用类似二分法的区间缩小方案。弧长法（Riks方法）求解分析弧长时，也常用二分法来解平衡路径的垂直约束方程。

状态方程反演（CFD 流体力学）：气体、液体的密度→压力一般有显函数，但压力→密度往往没有解析反函数。在 SUPG/PISO/SIMPLE 的各子步都需用二分法或 Brent 法来反演。

接触分析时步控制：显式 FEM 中，若节点在某时步穿透接触面，用二分法精确搜索穿透量为零的接触时刻 t*（常与罚函数法配合）。

优化线性搜索：梯度法、牛顿法各迭代步确定步长 α 时，需用二分法满足 Wolfe 条件（常与黄金分割法、Armijo 回退法搭配）。

最常见的误解是\"线性收敛慢，二分法没用\"。确实从迭代次数看不利，但每次迭代仅需计算 f(x) 一次，计算量极轻。而牛顿法每次需算 f 和 f'，在 CAE 等高维问题中，雅可比矩阵（刚度矩阵）组装成本压倒性巨大。按单次迭代耗时比较，二分法有时反而更便宜。

第二个误解是\"中间值定理保证唯一根\"。其实它只保证\"奇数个根\"。可能有3个根。二分法每次迭代把奇数分成1或3，最终定位到某一个根，初始区间的选择决定了最后收敛到哪个根。试试模拟器，设 a=−2, b=3（宽区间），逐步缩小看哪个根被夹住。

最后一个陷阱是\"f 不连续的情况\"。中间值定理只对连续函数成立。如果 f 在某点不连续且该点符号反转，二分法会\"假冒收敛\"，看似有根其实没有。例如 1/x 在 x=0 不连续但不存根。实现时需检查函数连续性，或事先了解函数特性。