パラメータ設定
光子・フォノンでは μ = 0（粒子数非保存）。質量を持つボソン気体（^87Rb、^4He など）では μ < 0 で、T を下げると μ → 0 に近づき BEC が始まります。
分布関数 n(E)
横軸＝(E−μ)/(kT)／縦軸＝占有数 n／青実線＝BE 分布、橙破線＝MB 分布／黄縦線＝現在の観測点／E→μ で BE が発散（BEC 兆候）
温度依存性 n_BE(T)
E と μ を固定し T を 1〜1000 K でスイープ。低温で n_BE が急増し BEC 兆候を示す。黄丸＝現在の T。
理論・主要公式
整数スピンを持つボソンが熱平衡下でエネルギー $E$ の状態を占める平均粒子数はボーズ・アインシュタイン分布に従います。
占有数（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度、$g$ は縮退度）：
$$n_{BE}(E) = \frac{g}{\exp\!\left[\dfrac{E - \mu}{kT}\right] - 1}$$
古典極限（$E - \mu \gg kT$）ではマクスウェル・ボルツマン分布に近似：
$$n_{MB}(E) = g\,\exp\!\left[-\dfrac{E - \mu}{kT}\right]$$
熱エネルギーと典型値：
$$kT = 8.617\times 10^{-5}\,T\ \text{[eV]},\quad kT_{10\text{K}} \approx 0.862\ \text{meV}$$
$E \to \mu$ で $n_{BE} \to \infty$ となり、巨視的な数のボソンが単一状態を占有する BEC が起こります。$E - \mu \ll kT$ で $n_{BE} \approx kT/(E - \mu)$。
ボーズ・アインシュタイン分布シミュレーターとは
🙋
「ボーズ・アインシュタイン分布」って、フェルミ・ディラック分布と何が違うんですか？
🎓
どちらも量子統計だけど、対象とする粒子が違うんだ。フェルミ・ディラックは電子のような半整数スピンを持つ「フェルミ粒子」で、パウリの排他律により 1 つの量子状態に最大 1 個しか入れない。一方ボーズ・アインシュタインは整数スピンを持つ「ボソン」（光子・フォノン・^4He・冷却 ^87Rb など）が対象で、同じ状態に何個でも入れる。式は $n_{BE}(E) = 1/(\exp((E-\mu)/kT)-1)$ で、分母が −1 になっているのがフェルミ統計（+1）との決定的な違いだよ。
🙋
デフォルトでは E=0.001 eV、μ=−0.001 eV、T=10 K で n_BE = 0.109 ですよね。MB との差が 10.9% って、結構大きいですね。
🎓
そう、(E−μ)/kT = 0.002/0.000862 ≈ 2.32 という領域は、ちょうど量子効果が見え始める「中間域」なんだ。指数の肩が 2.32 だと exp(2.32) ≈ 10.18、BE は 1/(10.18−1) = 0.109、MB は exp(−2.32) = 0.0982。差が 10.9%。これが (E−μ)/kT = 5 だと差は 0.7% しかなくなり、逆に 0.5 だと 30% を超えて、E→μ では BE が発散する。「同じ状態を好む集団効果」がボソンの本質で、低温でこそ顕著になる。
🙋
「温度をスイープ」を押すと、低 T で n_BE が急に大きくなりますね！
🎓
そう、これがボーズ・アインシュタイン凝縮 (BEC) の「兆候」だ。E と μ を固定して T を下げると kT が小さくなり、x = (E−μ)/kT が大きくなる…と思いきや、実は違う。BEC は μ → E_0（基底状態のエネルギー）に近づくときに起こる。本シミュレーターでは μ をユーザーが設定するから、T を下げて x が一定の場合 n_BE は変わらない。物理的には、保存量のあるボソン気体では T を下げると μ が上昇し、ある臨界温度 T_c で μ → 0 となって BEC が始まる。1995 年に ^87Rb 原子で初めて実現され、Cornell・Wieman・Ketterle がノーベル賞を受賞した。
🙋
μ を 0 に近づける（−0.0001 eV など）と、n_BE が爆発的に大きくなりますね…
🎓
それが BEC の数学的な兆候だ。x = (E−μ)/kT が極小になり、$n_{BE} \approx kT/(E - \mu)$ という「古典の指数」とは似ても似つかない冪関数挙動になる。実際の冷却原子実験では、T_c を下回ると基底状態に巨視的な数の原子（数千〜数百万個）が「凝縮」し、波束が干渉する量子流体になる。レーザー冷却・蒸発冷却・磁気トラップで nK オーダーまで冷やすのが標準手法だよ。
よくある質問
化学ポテンシャル μ は粒子数 N の保存に対応する Lagrange 乗数で、$\mu = \partial F/\partial N$ と定義されます。光子・フォノンは黒体放射や格子振動の中で生成・消滅し N が保存されないため、自由エネルギー F の最小化条件として μ = 0 が要請されます。これがプランクの黒体放射公式 $u(\nu) \propto \nu^3/(\exp(h\nu/kT)-1)$ の分母に余分な項がない理由です。質量を持つ粒子（^4He、^87Rb 原子など）では N が保存されるため μ は温度・密度に依存し、低温で μ → E_0 に向かって BEC が始まります。
分母の符号が決定的に違います。FD は $1/(e^x+1)$ で常に 0〜1 の範囲（パウリ排他）、BE は $1/(e^x-1)$ で 0〜∞ の範囲（同一状態を好む集団効果）。x = (E−μ)/kT として、x ≫ 1 では両者とも MB 分布に収束しますが、x ≪ 1 で大きく分かれます。FD は f → 1 で頭打ち、BE は n → 1/x で発散。物理的には、フェルミ粒子は「他の粒子を避ける」、ボソンは「他の粒子と同じ状態を好む」という対称性の違いに対応します。
3 次元自由ボソン気体で粒子数密度 n、粒子質量 m とするとき、$T_c = \dfrac{2\pi\hbar^2}{m k}\left(\dfrac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}$ で、$\zeta(3/2) \approx 2.612$ はリーマンゼータ関数です。^87Rb 原子（n ~ 10^14 cm^-3）で T_c ~ 100 nK、超流動 ^4He（n ~ 2.2×10^22 cm^-3）で T_c ~ 3.13 K（実測 λ 点 2.17 K と近い）と計算されます。実際にはトラップポテンシャルや相互作用で補正が必要ですが、本シミュレーターはまず分布関数の振る舞いを直感的に理解するためのものです。
g は同じエネルギー E を持つ状態の数（縮退度）です。例えば光子では偏光自由度 2、^4He ではスピン 0 で 1、^87Rb の超微細構造では F=1 が 3 重、F=2 が 5 重に縮退しています。1 つのエネルギー準位あたりの平均粒子数を計算する場合は g = 1 で、エネルギー準位群（殻）あたりを計算する場合は実際の縮退度を入力してください。本シミュレーターは n_BE に g 倍を掛ける単純なスケーリングで、本質的な分布関数の形を変えません。
実世界での応用
ボーズ・アインシュタイン凝縮 (BEC)：1995 年に Cornell・Wieman らが ^87Rb 原子を 170 nK まで冷却して初めて BEC を実現し、同年 Ketterle が ^23Na で同様の結果を得て 2001 年ノーベル物理学賞を受賞。BEC は巨視的な量子状態で、原子レーザー・物質波干渉・量子シミュレーションの基盤となります。光格子に閉じ込めた BEC は超流動から Mott 絶縁体への量子相転移を観測でき、強相関電子系の物理を「光と原子」で再現できる強力な実験プラットフォームです。
プランクの黒体放射と宇宙背景放射：光子は μ = 0 のボソンで、エネルギー密度は $u(\nu) \propto h\nu^3/(\exp(h\nu/kT)-1)$（プランク分布）。これが 1900 年に量子論を生んだ歴史的公式で、宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) は T ≈ 2.725 K のほぼ完全なプランク分布を示し、ビッグバン理論の決定的証拠となりました。COBE 衛星 (1989) の精密測定でブラックボディからのずれが 10^-5 以下と確認され、ノーベル賞 (2006) が授与されました。
超流動 ^4He と超伝導：液体 ^4He は 2.17 K（λ 点）以下で粘性ゼロの超流動になります。これは ^4He（ボソン）の BEC の発露と理解され、Landau の準粒子描像で記述できます。超伝導もクーパー対（電子 2 個のペア）がボソンとして凝縮した状態で、BCS 理論で説明されます。MgB_2 (T_c = 39 K) や銅酸化物 (T_c > 100 K)、最近では水素化物 (LaH_10, T_c ~ 250 K @ 高圧) など、ボーズ凝縮の延長として超伝導が活発に研究されています。
レーザーと光通信：レーザー光は単一モードに巨視的な数の光子が凝縮した「コヒーレント状態」で、誘導放出（ボソンの集団効果）に基づきます。アインシュタインが 1917 年に誘導放出の係数（A・B 係数）を導出した際、光子のボーズ統計を本質的に使っていました。半導体レーザー・光通信・LIDAR・光格子時計など現代技術の中核に、ボソンの統計が直接働いています。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「BEC は通常の凝縮（液化）と同じ」と思うことです。実体は全く異なり、BEC は実空間ではなく「運動量空間（あるいはエネルギー固有状態）」での凝縮です。原子はバラバラのまま気体として浮遊していますが、その量子状態が単一の波動関数で記述される、純粋に量子力学的な現象です。古典の液化（分子間引力で凝集する）とは原理が違います。本シミュレーターで n_BE が E→μ で発散する様子は、その単一状態への「凝縮」を数学的に表しています。
次に多いのが、μ ≥ E を入力できると思うことです。BE 分布の物理的領域は E > μ に限定されます。E ≤ μ では分母 exp((E−μ)/kT)−1 がゼロまたは負となり、占有数が無限大か負値になって意味を持ちません。本シミュレーターでは μ < 0、E > 0 と制約を付け、E と μ の差を常に正に保っています。質量を持つボソン気体では、温度を下げて μ → E_0（基底状態のエネルギー）に近づくのが BEC の数学的特徴です。
最後に、「すべてのボソンは BEC を起こす」と思うこと。BEC は 3 次元自由ボソン気体では起こりますが、2 次元では Mermin-Wagner 定理により有限温度では起こりません（Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 転移という別の現象は起こります）。1 次元でも一般に起こりません。また、相互作用があると Bogoliubov 理論で記述される準粒子が現れ、純粋な BEC とは少し異なります。本シミュレーターは相互作用のない自由ボソン気体の分布関数を可視化したもので、実材料の応用ではこれらの補正を考慮する必要があります。