分子量の例：H₂=2、He=4、N₂=28、O₂=32、Ar=40、CO₂=44。観測窓は v±Δv/2 の範囲で確率を集計します。
横軸＝速さ v (m/s)／縦軸＝確率密度 f(v)／青破線＝v_p、緑破線＝平均速さ、橙破線＝v_rms／黄点＝観測 v、シェード＝確率窓 [v−Δv/2, v+Δv/2]
同じ分子量での温度依存性を可視化。橙＝T/2、青＝現在の T（強調）、赤＝2T。温度が上がると分布が右に広がり、ピークが低くなる
理想気体中の分子速度の絶対値は、マクスウェル・ボルツマン分布に従います。
速さ $v$ の確率密度関数（$m$ は分子質量、$k$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度）：
$$f(v) = 4\pi\!\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\!v^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$
三つの代表速度：
$$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}},\quad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},\quad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$
分子質量と分子量 $M_g$ [g/mol] の関係（$N_A$ はアボガドロ数）：
$$m = \frac{M_g \times 10^{-3}}{N_A}$$
三つの代表速度の比は常に $v_p : \langle v\rangle : v_\text{rms} \approx 1 : 1.128 : 1.225$ となり、分布は速度に対して非対称（右に長い尾）です。
マクスウェル・ボルツマン速度分布シミュレーターとは
🙋
空気って室温だと分子はどれくらいの速さで飛び回っているんですか？感覚が全く湧かなくて…
🎓
想像より速いよ。室温 (300 K) の窒素分子だと最確速度がだいたい 422 m/s。これは時速 1500 km 以上で、旅客機の倍近い速さだ。ただし全部が同じ速さではなくて、確率分布として広がっている。これを表すのがマクスウェル・ボルツマン分布 $f(v) = 4\pi(m/(2\pi kT))^{3/2}\,v^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$ で、上のシミュレーターはこの式そのものを描いているんだ。
🙋
「最確速度」と「平均速さ」と「RMS 速度」って3つも書いてありますけど、何が違うんですか？
🎓
どれも同じ分布から作る代表値だけど、定義が違うんだ。最確速度 v_p はピーク位置、平均速さ ⟨v⟩ は単純な算術平均、RMS 速度 v_rms は二乗平均平方根。比は常に $1 : 1.128 : 1.225$ で、温度や分子に関係なくこの比が成り立つ。圧力やエネルギーの議論では (1/2)mv² の平均が出てくるから v_rms² を使い、平均自由行程の議論では ⟨v⟩ を使う、と用途で使い分けるよ。
🙋
「温度をスイープ」ボタンを押すと、ピークがどんどん右に行きますね！
🎓
そう。v_p は √T に比例して大きくなる。気をつけたいのは、ピークが右に動くと同時に「低くなる」ことだ。これは分布の積分（全確率）が常に 1 でないといけないから、面積保存のもとで形が「広く・低く・右」に変形している。下の比較グラフで T/2 の橙、T の青、2T の赤を見ると、3 本がそれぞれ違う山の形をしているのが分かるはずだ。
🙋
「観測窓内確率」と「累積確率」のカードは何を表しているんですか？
🎓
分子をランダムに 1 個取り出したとき、「速さがちょうどその範囲に入る確率」だよ。観測窓内確率は v±Δv/2 の範囲、つまり黄色いシェードの面積に近い量で、約 9% と表示される。累積確率の方は v より速い分子の割合、つまり右側全部の面積で、デフォルトの N₂ 室温 v=500 m/s で約 42% だ。「平均速さ より少し遅い 500 m/s」を超える分子が全体の 4 割もいる、というのがこの分布の特徴的なところだね。
よくある質問
マクスウェル・ボルツマン分布が成り立たないのはどんな場合ですか？
この分布は、(1) 古典的（量子効果が無視できる）な、(2) 弱く相互作用する、(3) 熱平衡にある、(4) 多数の分子からなる気体で成り立ちます。低温で量子効果が効くヘリウム液（フェルミ・ディラックやボーズ・アインシュタイン分布）、高密度で分子間ポテンシャルが効く液体や臨界点近傍、衝撃波直後やレーザー励起直後など熱平衡から大きく外れた系では成り立ちません。実用範囲としては「常温〜数千 K の希薄気体」がカバー範囲です。
速度ベクトルの分布と速さの分布はどう違うのですか？
速度ベクトル v=(vx,vy,vz) の各成分はそれぞれ独立に正規分布（平均 0、分散 kT/m）に従い、3 次元では原点が最も確率密度の高い「ピーク」になります。一方、速さ |v|=v は速度空間の球殻表面積 4πv² が掛かるため、原点では 0 になり、v_p = √(2kT/m) でピークを持つ非対称な分布になります。本シミュレーターは「速さ」の分布 f(v) を描いており、運動量空間で球殻に積分した結果に相当します。
RMS 速度と気体の圧力・エネルギーの関係は？
気体の圧力は分子の運動量輸送から導かれ、$P = (1/3)\rho \langle v^2\rangle = (1/3)\rho v_\text{rms}^2$ と書けます。1 分子あたりの平均並進運動エネルギーは $\langle E\rangle = (1/2)m v_\text{rms}^2 = (3/2)kT$ で、温度の定義そのものです。これがエネルギー等分配則の特別な場合で、自由度ごとに $(1/2)kT$ ずつエネルギーが配分される、という熱力学の基本則の出発点になります。
大気中で軽い分子が逃げる「大気散逸」も計算できますか？
本シミュレーターの累積確率 P(V>v_esc) を脱出速度 v_esc で評価すれば、Jeans 散逸の見積もりに使えます。地球の脱出速度は約 11.2 km/s ですが、上層大気の温度 (約 1000 K) で水素 (M=2) の v_rms は約 3.5 km/s と低めなので、分布の遠い裾の確率が問題になります。月や火星では重力が弱く脱出速度が低いため、軽い分子の裾が大量に脱出し続け、ほぼ大気を持てません。この「裾の確率」が惑星科学の中心的な議論になります。
実世界での応用
気体の輸送現象（拡散・粘性・熱伝導）： 気体の拡散係数・粘性係数・熱伝導率は、分子の平均速さ ⟨v⟩ と平均自由行程 λ から $D \sim \lambda \langle v\rangle / 3$ のように見積もられます。マクスウェル・ボルツマン分布から ⟨v⟩ が得られるため、温度・圧力・分子量を指定すれば真空装置の排気時間、断熱材内のガス熱伝導、半導体プロセス用ガスの拡散時間などを 1 桁の精度で予測できます。
反応速度論とアレニウス式： 化学反応では、反応に必要な活性化エネルギー $E_a$ を超える運動エネルギーを持つ分子の割合が反応速度を支配します。これはマクスウェル・ボルツマン分布の高エネルギー側の裾の確率 $\sim e^{-E_a/(kT)}$ に対応し、有名なアレニウス式 $k = A\,e^{-E_a/(kT)}$ の物理的根拠です。シミュレーターで温度を 2 倍にすると裾が大きく持ち上がるのが見え、反応速度が指数的に速くなる理由が直感的に分かります。
真空・薄膜・半導体プロセス： 低圧の真空チャンバ内では、ガス分子が壁に衝突する頻度が分子の平均速さで決まり、付着確率と組み合わせて成膜速度が決定されます。CVD/PVD 装置や分子線エピタキシ (MBE) の設計では、各原料ガスの分子量と温度から RMS 速度・流量・ヌッセン数 (Kn) を計算し、反応器形状を最適化します。本式は半導体プロセスの基礎として日常的に使われています。
惑星科学・大気逃散： 太陽系の惑星や衛星が大気を保てるかどうかは、上層大気の温度での RMS 速度が脱出速度を超えるか否かで概ね決まります。地球は重力が強く、ヘリウム以外はほとんど逃げませんが、月や水星は重力が弱く軽い分子が次々に逃散して大気を持てません。系外惑星の大気組成推定でも、観測される温度と推定脱出速度から MB 分布の裾を計算し、長期的な大気保持を評価します。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「全分子が同じ速さで飛んでいる」と考えてしまう ことです。実際には、最確速度を中心に幅広い分布を持ち、ピークの 1/10 以下の遅い分子も、ピークの 3 倍を超える高速な分子も常に一定割合存在します。シミュレーターのデフォルト N₂ 室温で観測 v を 1000 m/s（v_p の約 2.4 倍）に動かしてみてください。それでも累積確率（P(V>v)）が数 % 残っており、決して「全部が v_p で飛んでいる」わけではないことがはっきり分かります。
次に多いのが、「最確速度・平均速さ・RMS 速度を同じものとして扱う」 誤りです。教科書や問題集で「分子の速さ」と書かれていても、文脈で v_p、⟨v⟩、v_rms のどれを指しているかが異なります。圧力公式 $P = (1/3)\rho v_\text{rms}^2$ や運動エネルギー $(3/2)kT$ には v_rms、平均自由行程の議論や衝突頻度には ⟨v⟩、分布の特徴量としては v_p、と使い分けが必要です。比は常に 1:1.128:1.225 ですが、解析の精度を上げるなら混同を避けるべきです。
最後に、「マクスウェル・ボルツマン分布が常に成り立つ」と思い込む のも危険です。極低温（量子効果が顕在化）、高密度（分子間相互作用が強い）、衝撃波直後や急激なレーザー加熱（熱平衡未到達）、放電プラズマや太陽風（電子と重粒子の温度が異なる非平衡）といった条件では、分布関数自体が大きく歪みます。CFD や DSMC（直接シミュレーションモンテカルロ）での解析、あるいはボルツマン方程式の数値解が必要です。本シミュレーターは「常温〜数千 K の希薄な熱平衡気体」という、最もクリーンな前提のもとでの理論曲線を描いています。