参数设置
光子、声子的 μ = 0（粒子数不守恒）。质量玻色子气体（^87Rb、^4He 等）中 μ < 0，T 降低时 μ 趋近 0，标志 BEC 的开始。
分布函数 n(E)
横轴＝(E−μ)/(kT)／纵轴＝占据数 n／蓝实线＝BE、橙虚线＝MB／黄竖线＝当前观测点／E→μ 时 BE 发散（BEC 征兆）
温度依赖 n_BE(T)
固定 E 与 μ，将 T 在 1〜1000 K 范围内扫描。低温下 n_BE 急剧上升，呈现 BEC 征兆。黄圆＝当前 T。
理论与主要公式
整数自旋的玻色子在热平衡中占据能量为 $E$ 的态的平均粒子数服从玻色-爱因斯坦分布。
占据数（$\mu$ 为化学势，$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度，$g$ 为简并度）：
$$n_{BE}(E) = \frac{g}{\exp\!\left[\dfrac{E - \mu}{kT}\right] - 1}$$
经典极限（$E - \mu \gg kT$）下退化为麦克斯韦-玻尔兹曼分布：
$$n_{MB}(E) = g\,\exp\!\left[-\dfrac{E - \mu}{kT}\right]$$
热能与典型值：
$$kT = 8.617\times 10^{-5}\,T\ \text{[eV]},\quad kT_{10\text{K}} \approx 0.862\ \text{meV}$$
$E \to \mu$ 时 $n_{BE} \to \infty$，宏观数量的玻色子占据单一态，即 BEC。$E - \mu \ll kT$ 时 $n_{BE} \approx kT/(E - \mu)$。
玻色-爱因斯坦分布模拟器是什么
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玻色-爱因斯坦分布与费米-狄拉克分布到底有什么不同？
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两者都是量子统计，但适用粒子不同。费米-狄拉克描述电子等半整数自旋的「费米子」，受泡利不相容原理约束，每个量子态最多一个粒子。玻色-爱因斯坦针对整数自旋的「玻色子」（光子、声子、^4He、冷原子 ^87Rb 等），同一态可容纳任意多个粒子。公式为 $n_{BE}(E) = 1/(\exp((E-\mu)/kT)-1)$，分母里的 −1（费米统计为 +1）正是关键差异。
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默认 E=0.001 eV、μ=−0.001 eV、T=10 K 时 n_BE = 0.109，与 MB 相比 10.9% 的差距比想象中大。
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是的，(E−μ)/kT = 0.002/0.000862 ≈ 2.32 正好处于量子效应开始显现的「过渡区」。指数 exp(2.32) ≈ 10.18，BE = 1/(10.18−1) = 0.109，MB = exp(−2.32) = 0.0982，差 10.9%。当 (E−μ)/kT = 5 时差距缩到 0.7%；而在 0.5 以下差距超过 30%，E→μ 时 BE 发散。「玻色子喜欢同态聚集」的集团效应在低温下尤为显著。
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按下「温度扫描」后，低温区域 n_BE 会突然变大！
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这正是玻色-爱因斯坦凝聚 (BEC) 的征兆。对粒子数守恒的真实玻色子气体，温度降低使 μ 上升；当 μ 抵达基态能 E_0 时，宏观数量的玻色子坍缩到单一量子态。本模拟器允许直接设置 μ，所以固定 μ 降低 T 时只看到聚集增大而不会真正发散。1995 年 Cornell、Wieman 与 Ketterle 在 ^87Rb 实验中首次实现 BEC，并因此荣获 2001 年诺贝尔奖。
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将 μ 趋近 0（如 −0.0001 eV）时 n_BE 急剧爆炸……
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这正是 BEC 的数学征兆：x = (E−μ)/kT 极小时小 x 展开给出 $n_{BE} \approx kT/(E - \mu)$，幂次发散而非指数衰减。冷原子实验中临界温度以下数千至数百万原子「凝聚」到基态，形成宏观物质波。标准冷却流程结合激光冷却、蒸发冷却与磁阱，可达 nK 量级。
常见问题
化学势 μ 是与粒子数守恒共轭的拉格朗日乘子，$\mu = \partial F/\partial N$。光子、声子在黑体辐射或晶格振动中可自由生成湮灭，N 不守恒，因此自由能 F 极小化要求 μ = 0。这就是普朗克黑体公式 $u(\nu) \propto \nu^3/(\exp(h\nu/kT)-1)$ 分母无附加项的原因。^4He、^87Rb 等有质量粒子 N 守恒，μ 随温度密度变化，低温下 μ 趋近基态能即触发 BEC。
分母符号决定一切。FD 为 $1/(e^x+1)$，因泡利原理始终位于 0〜1 之间。BE 为 $1/(e^x-1)$，因玻色子聚集效应取值 0〜∞。x = (E−μ)/kT，当 x ≫ 1 时两者均趋近 MB；x ≪ 1 时差异显著，FD 饱和于 1，BE 像 1/x 一样发散。物理上费米子「互相回避」，玻色子「乐于共享同一态」，源于交换对称性的差别。
3 维自由玻色子气体粒子密度 n、质量 m 时，$T_c = \dfrac{2\pi\hbar^2}{m k}\left(\dfrac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}$，其中 $\zeta(3/2) \approx 2.612$ 为黎曼 zeta 函数。^87Rb (n ~ 10^14 cm^-3) 给出 T_c ~ 100 nK；超流 ^4He (n ~ 2.2×10^22 cm^-3) 算得 T_c ~ 3.13 K（与实测 λ 转变 2.17 K 接近）。陷阱形状与相互作用需修正，本模拟器主要展现分布函数本身的行为。
g 是同一能量 E 的态数（简并度）。光子有 2 个偏振自由度，自旋 0 的 ^4He 为 1，^87Rb 超精细 F=1 为 3 重、F=2 为 5 重简并。计算单一量子态平均占据数时令 g = 1，处理一个能级群（壳层）时输入实际简并度。本模拟器对 n_BE 乘以 g 仅是简单缩放，不改变分布函数的本质形状。
实际应用
玻色-爱因斯坦凝聚 (BEC)：1995 年 Cornell 与 Wieman 将 ^87Rb 原子冷却到 170 nK 实现首次 BEC，同年 Ketterle 在 ^23Na 中实现，三人共获 2001 年诺贝尔物理学奖。BEC 是宏观量子态，是原子激光、物质波干涉与量子模拟的基础。光晶格中的 BEC 可重现超流-Mott 绝缘体量子相变，为强关联电子系统提供「光与原子」的洁净实验平台。
普朗克辐射与宇宙微波背景：光子是 μ = 0 的玻色子，能量密度为 $u(\nu) \propto h\nu^3/(\exp(h\nu/kT)-1)$（普朗克分布），1900 年催生了量子论。宇宙微波背景 (CMB) 几乎完美遵循 T ≈ 2.725 K 的普朗克谱，是大爆炸理论的决定性证据。COBE 卫星 (1989) 测得偏离黑体小于 10^-5，并因此获 2006 年诺贝尔奖。
超流 ^4He 与超导：液体 ^4He 在 2.17 K（λ 点）以下变为无粘超流，可视为玻色子 ^4He 的 BEC，由 Landau 准粒子图像描述。超导是库珀对（电子对作为玻色子）凝聚的状态，由 BCS 理论解释。从 MgB_2 (T_c = 39 K) 到铜氧化物 (T_c > 100 K)，最近的氢化物 (LaH_10, 高压下 T_c ~ 250 K)，玻色凝聚作为超导研究的根基持续推进。
激光与光通信：激光是单一模式中宏观数量光子凝聚而成的相干态，依靠受激辐射（玻色子聚集效应）。1917 年爱因斯坦推导 A、B 系数时已隐式利用光子玻色统计。半导体激光、光通信、LIDAR、光晶格原子钟等现代核心技术，无不直接利用玻色子统计。
常见误解与注意事项
最常见的误解是把 BEC 等同于普通凝结（液化）。实质完全不同：BEC 发生在动量空间（或能量本征态空间），并非实空间。原子仍以稀薄气体悬浮，但量子态由单一波函数描述，是纯量子力学现象，与靠分子间引力凝聚的经典液化截然不同。本模拟器中 n_BE 在 E→μ 处的发散正是这种「凝聚到单一态」的数学体现。
第二个陷阱是认为可以输入 μ ≥ E。BE 分布的物理范围严格为 E > μ。E ≤ μ 时分母 exp((E−μ)/kT)−1 为零或负，占据数变为无穷或负值，物理无意义。本模拟器约束 μ < 0、E > 0，确保 E−μ 始终为正。质量玻色子气体中降温后 μ 趋近基态能 E_0，正是 BEC 的数学标志。
最后切勿认为所有玻色子都会发生 BEC。3 维自由玻色子气体确会 BEC，但 Mermin-Wagner 定理排除了 2 维有限温度的 BEC（可能出现别样的 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 转变）。1 维一般也不发生。引入相互作用后由 Bogoliubov 准粒子描述，与纯 BEC 略有不同。本模拟器展示无相互作用自由玻色子气体的分布函数，实材料应用需补充相应修正。