順運動学 シミュレーター — 2リンク平面マニピュレータ

2リンク平面マニピュレータは、原点に第一関節（基底）を持ち、リンク長 $L_1$ の腕が角度 $\theta_1$ で出て、その先端の関節2から長さ $L_2$ のリンクが角度 $\theta_2$（相対角）でさらに伸びる構造です。末端位置 $(x, y)$ は単純な三角関数の和で表されます。

$$x = L_1\cos\theta_1 + L_2\cos(\theta_1+\theta_2),\quad y = L_1\sin\theta_1 + L_2\sin(\theta_1+\theta_2)$$

ヤコビアン行列：$J = \begin{pmatrix} -L_1\sin\theta_1 - L_2\sin(\theta_1+\theta_2) & -L_2\sin(\theta_1+\theta_2) \\ L_1\cos\theta_1 + L_2\cos(\theta_1+\theta_2) & L_2\cos(\theta_1+\theta_2)\end{pmatrix}$、$\det J = L_1 L_2 \sin\theta_2$

原点からの距離： $r = \sqrt{x^2+y^2}$、作業空間：$|L_1-L_2| \le r \le L_1+L_2$、特異点：$\theta_2 = 0°, \pm 180°$

産業用ロボットの教示再生：溶接・組立・搬送など、関節角度を時系列で記録して再生する制御では、各時刻の関節角から手先位置を順運動学で予測し、ティーチングペンダント上でアニメーション表示します。シミュレーション環境（ROS、MoveIt、RoboDK）の核となる計算です。

FEM解析のリンク姿勢設定：多関節アームの構造解析（剛性・固有値・接触）では、解析対象の姿勢を関節角度で指定し、順運動学で各リンクの座標を計算してメッシュを配置します。負荷のかかる代表姿勢を初期条件として与える際の前処理として必須です。

外科手術ロボット・遠隔操作：術者が操作するマスター側の関節角度から、スレーブ側のエンドエフェクタ位置を順運動学で計算し、画面上に重畳表示します。リアルタイム計算が求められるため、閉形式の順運動学は遅延を最小化する鍵です。

CG・アニメーション・VRリギング：キャラクターの腕や脚の関節角度から、手先・足先位置を順運動学で計算してメッシュを変形します。逆運動学による目標位置追従と組み合わせ、自然な動きを生成します。

まず、「順運動学は簡単だから精度を気にしなくていい」という誤解があります。確かに数式は単純ですが、関節角度センサ（エンコーダ）の分解能やリンク長の製造誤差が末端位置に直接累積します。例えば L₁ = L₂ = 50 cm のアームで関節角度に 0.1°の誤差があると、末端で約 0.17 mm のズレが生じます。長いアームほど誤差が拡大するため、産業用途では校正（キャリブレーション）が必須です。

次に、「θ₂ の角度は絶対角度」という勘違い。本ツールの θ₂ は「リンク1に対する相対角度」で定義されています。一部の文献では「水平からの絶対角度」を θ₂' として扱う場合があり、両者は θ₂' = θ₁ + θ₂ の関係です。論文や CAD データを参照するときには角度定義を必ず確認しましょう。

最後に、「特異点は数学的な抽象概念で実機では関係ない」という油断。実際には特異点近傍（det J が小さい領域）で関節速度が急増し、サーボの飽和や振動が起きます。本シミュレーターで θ₂ を 0°や 180° 付近にすると右下マップが青く（暗く）なり、その姿勢で末端を半径方向に動かすには無限大の関節速度が必要なことが視覚的に分かります。経路計画では特異点を回避するか、減衰最小二乗法（DLS）で安定化させます。