パラメータ設定
摩擦角は β = atan(μ)、せん断角は φ = 45° + α/2 − β/2。スイープボタンですくい角を −15° から +30° まで連続変化させ、切削力の変化を観察できます。
二次元直角切削モデル
工具（くさび形・すくい角 α）が被削材を切込み t で切削。せん断面（角度 φ）でチップ（切り屑）が生成され、主分力 F_c（送り方向）と背分力 F_t（垂直方向）を矢印で表示。
マーチャント力の円
合成力 R を直径とする円上で、3 組の分解（F_c/F_t：機械座標）、（F/N：工具すくい面）、（F_s/N_s：せん断面）を一括表示。すくい角 α・摩擦角 β・せん断角 φ も弧で示します。
理論・主要公式
すくい角 $\alpha$ と摩擦係数 $\mu$ から摩擦角 $\beta$ とせん断角 $\phi$ を求めます：
$$\beta = \arctan(\mu),\qquad \phi = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}$$
切込み $t$、せん断流動応力 $\tau_s$ から単位幅当たり合成力 $R/w$：
$$\frac{R}{w} = \frac{\tau_s\,t}{\sin\phi\,\cos(\phi+\beta-\alpha)}$$
機械座標系で主分力（送り方向）と背分力（垂直方向）：
$$\frac{F_c}{w} = \frac{R}{w}\cos(\beta-\alpha),\qquad \frac{F_t}{w} = \frac{R}{w}\sin(\beta-\alpha)$$
既定値 $\tau_s=400$ MPa、$t=0.20$ mm、$\alpha=10°$、$\mu=0.50$ では $\beta=26.57°$、$\phi=36.72°$、$F_c/w \approx 214.5$ N/mm、$F_t/w \approx 63.8$ N/mm が得られます。
マーチャント切削力学 シミュレーターとは
🙋
先生、旋盤で切削加工してると「切削力が大きい」「すくい角を大きくすると切れ味が良くなる」って先輩がよく言うんですけど、どうしてすくい角で力が変わるんですか？単に切る向きが変わるだけだと思ってました。
🎓
いい着眼点だ。切削は本質的には「材料をせん断面で剥がす」現象で、その剥がれの角度（せん断角 φ）がすくい角 α と摩擦角 β で決まる、というのがマーチャントの発見だ。式は φ = 45° + α/2 − β/2。すくい角を大きくすると φ が増えてせん断面が短くなり、必要なせん断仕事が減って力が落ちる。シミュレーターで α を 10° から 30° に動かしてみて。F_c がぐっと小さくなるだろ？逆に α をマイナスにすると切削力が一気に増えるはずだ。
🙋
本当に F_c が下がりました！じゃあ「すくい角は大きいほど良い」ってことですか？最大の 30° に常に設定すればいいんでしょうか？
🎓
そこが切削加工の難しいところでね。理論上は α を大きくするほど力は減るけど、すくい角を大きくすると刃先のくさび角（=90° − α − 逃げ角）が小さくなり、刃先強度が落ちる。鋳鉄や焼入れ鋼みたいな硬い材料では、α を大きくしすぎると刃が欠ける（チッピング）。なので軟材（アルミ・銅）では +20° 前後、ステンレスや鋼では +5〜+10°、硬い超硬合金や難削材ではむしろ負のすくい角 −5° を選ぶ、というのが現場の常識だ。シミュレーターで負のすくい角の場合の F_c の増加を確認してから、実加工の選定に当たろう。
🙋
摩擦係数 μ も大きく影響するんですか？切削油を使うとどう変わりますか？
🎓
摩擦の影響は絶大だ。μ を 0.5 から 0.3 に下げると、β = atan(μ) が 26.6° から 16.7° に減って、φ が 36.7° から 41.7° に増える。せん断面が短くなって F_c は 1〜2 割減る。切削油やコーティング（TiN・TiAlN・DLC）の目的の一つがこの μ の低減で、結果として切削力低下、温度低下、工具寿命延長が同時に得られる。シミュレーターで μ を 1.0 から 0.1 まで動かしてみて。F_c が大きく変動するだろ？工具材種・切削油・コーティングの選定はこの μ で説明できる部分が多いんだ。
🙋
背分力 F_t って何のために計算するんですか？主分力 F_c だけで動力は決まりますよね？
🎓
いいところに気づいた。切削動力は確かに P = F_c·v で F_c だけで決まる。でも F_t は「工具を被削材から押し離す力」で、工作機械の剛性が足りないとここで工具がたわんで切込み深さが減り、加工精度が出なくなる。長尺の薄肉円筒を旋削するとき、被削材がたわむのも F_t のせいだ。シミュレーターで α を負方向に振ると F_t も急増することがわかるはず。だから精密加工では「F_t を小さくするためにすくい角を大きく取る」「センター押しを使う」「主軸剛性を上げる」といった対策を取る。
🙋
力の円のグラフが面白いんですけど、なぜ R を直径にした円になるんですか？
🎓
これは幾何学的にきれいな性質でね、R を直径とする円上の任意の点 P から、円周角の定理で ∠APB = 90° になる。だから R を 2 つの直交ベクトルに分解する 3 組の方法——機械座標系 (F_c, F_t)、すくい面 (F, N)、せん断面 (F_s, N_s)——を全部 1 つの円上に表せるんだ。3 つの三角形が同じ R を斜辺として共有するから、力の関係（例えば F_s = F_c·cos φ − F_t·sin φ）が幾何学的に一目で見える。実務でも切削データから他の成分を算出するときによく使うグラフだよ。
マーチャント切削力学とは
マーチャント切削力学（Merchant's orthogonal cutting model）は、Eugene Merchant が 1944〜1945 年に提案した二次元直角切削の解析モデルです。被削材の切込み方向と工具刃線が直交する単純化された切削（旋削の突切り、フライ盤の溝加工に近い状況）を扱い、工具・チップ間の摩擦と被削材のせん断強度から切削力を予測します。中心的な仮定は、(1) 切り屑は一枚のせん断面（厚さゼロの面）で生成される、(2) 工具・チップ界面の摩擦はクーロン摩擦（係数 μ）で記述できる、(3) せん断面ではせん断流動応力 τ_s が一様、というものです。
このシミュレーターでは、すくい角 α、摩擦係数 μ、切込み深さ t、せん断流動応力 τ_s の 4 つを入力すると、マーチャント方程式 φ = 45° + α/2 − β/2（β = atan μ）でせん断角を求め、単位幅当たりの主分力 F_c/w と背分力 F_t/w を計算します。同時に二次元直角切削の模式図とマーチャント力の円を Canvas で描画し、すくい角や摩擦の変化が切削力にどう波及するかを直感的に理解できます。
物理モデルと主要な数式
二次元直角切削では、工具がすくい角 $\alpha$（rake angle、刃先のすくい面と切削方向に垂直な面とがなす角度）で被削材表面を切込み量 $t$ だけ食い込み、被削材は単一せん断面（shear plane）に沿って一枚の切り屑へと変形します。せん断面と切削速度方向のなす角がせん断角 $\phi$ です。工具・切り屑界面ではクーロン摩擦 $F = \mu N$ が成立し、摩擦角 $\beta = \arctan(\mu)$ で記述されます。
Merchant は単位体積当たりのせん断仕事 $W$ が最小となる条件 $\partial W / \partial \phi = 0$ から、せん断角の最適解を導きました：
$$\phi = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}$$
せん断面上ではせん断流動応力 $\tau_s$ が一様と仮定すると、単位幅当たりの合成力 $R/w$ は
$$\frac{R}{w} = \frac{\tau_s\,t}{\sin\phi\,\cos(\phi+\beta-\alpha)}$$
と表され、機械座標系での主分力（送り方向、切削動力を決める）と背分力（垂直方向、工具を押し離す）は
$$\frac{F_c}{w} = \frac{R}{w}\cos(\beta-\alpha),\qquad \frac{F_t}{w} = \frac{R}{w}\sin(\beta-\alpha)$$
既定値 $\tau_s=400$ MPa、$t=0.20$ mm、$\alpha=10°$、$\mu=0.50$ では、$\beta=26.57°$、$\phi=36.72°$、$R/w \approx 223.8$ N/mm、$F_c/w \approx 214.5$ N/mm、$F_t/w \approx 63.8$ N/mm が出力されます。実測値はマーチャント予測の 80〜90% 程度になるのが一般的で、Lee–Shaffer のすべり線場解 $\phi = 45° + \alpha - \beta$ や Oxley の修正モデルがより実測に近い予測を与えます。
実世界での応用
工具すくい角の選定：切削力を低く抑えたい軟材（純アルミ、銅、低炭素鋼）では正の大きなすくい角（+15〜+25°）を選び、刃先強度が必要な硬材（鋳鉄、焼入れ鋼、超硬切削）では負のすくい角（−5〜−10°）を選びます。マーチャントモデルでこの傾向を定量的に確認でき、シミュレーターで α を変えると F_c がどれだけ変化するかが即座に分かります。
切削動力の見積もり：主軸モータの選定には P = F_c·v が必要です。切削幅 w、切込み深さ t、切削速度 v が決まれば、F_c/w を本ツールで求めて、P = (F_c/w)·w·v を計算できます。例えば α=10°、μ=0.5、τ_s=400 MPa、t=0.2 mm、w=3 mm、v=100 m/min（=1.67 m/s）なら、P = 214.5·3·1.67 ≈ 1.07 kW となり、必要モータ動力（効率 0.7 で 1.5 kW）が見積もれます。
切削油・コーティングの効果評価：切削油や工具コーティングの主目的は工具・チップ間の摩擦係数 μ の低減です。例えば未コーティング工具で μ=0.7 のところを TiAlN コーティングで μ=0.5 に下げると、シミュレーターで F_c の変化を確認できます。コーティング・クーラントの導入効果を事前に見積もり、コストと工具寿命改善のトレードオフを判断できます。
切り屑厚さ圧縮比の予測：切り屑厚さ $t_c = t\,\cos(\phi-\alpha)/\sin\phi$ から、加工後の切り屑が元の切込みの何倍になるかが分かります。圧縮比 $r_c = t/t_c = \sin\phi/\cos(\phi-\alpha)$ は、切り屑処理（チップブレーカ設計）や切削エネルギー計算で使われる重要な指標です。短い切り屑（高 r_c）は自動加工で扱いやすく、長い切り屑（低 r_c）はからまりの原因になります。
よくある誤解と注意点
まず多い誤解が、マーチャント方程式の理論値が実測と一致すると思うこと。実際の切削ではせん断面は厳密に平面ではなく有限の厚さ（一次塑性域）を持ち、温度・ひずみ速度依存で τ_s も変化します。実測の φ は理論値より 5〜10° 小さいことが多く、Lee–Shaffer の $\phi = 45° + \alpha - \beta$ や Oxley の修正モデルのほうが定量的にはよく合います。マーチャントは「定性的傾向（α↑で力↓、μ↑で力↑）」を理解するための基礎モデルと位置づけるのが現代的な使い方です。
次に、直角切削モデルを 3 次元の実加工に直接当てはめる誤り。本シミュレーターは旋削の突切り、フライ盤の溝加工のような「刃線が切込み方向に垂直」な単純な切削を扱います。一般的な旋削では切込み角・切り込み方向・送り方向が立体的に組み合わさるため、横すべり角（Inclination angle）や前すくい角・横すくい角を考慮した斜切削モデル（oblique cutting）が必要です。マーチャントは斜切削の解析にも拡張されますが、その場合は補正係数が入ります。
最後に、μ をハンドブック値（鋼・乾燥摩擦：0.2）と取り違える落とし穴。切削中の工具・チップ界面では、(1) 高温（500〜1000°C）、(2) 非常に高い接触圧力（GPa 級）、(3) 化学的拡散・凝着が起こり、純すべり摩擦と全く異なる挙動をします。実測の μ は 0.3〜1.0 と幅広く、切削温度・速度・被削材組成に依存します。シミュレーターでは μ を直接入力する形ですが、実加工では F_c と F_t を測定し、β−α = atan(F_t/F_c) から逆算するのが正確です。
よくある質問
金属切削（metal-cutting）ツールは切削速度・送り・切込みから機械的な切削動力や工具寿命（テイラー式 V·T^n = C）を中心に扱う一般入門ツールです。本ツール（merchant-cutting）は二次元直角切削の力解析に特化し、マーチャント方程式によるせん断角の予測、合成力 R の分解（力の円）、すくい角・摩擦角と切削力の関係を可視化します。切削加工の「なぜ力がそうなるか」を理解したいときはマーチャント、「実加工で何 kW 必要か」を見積もりたいときは金属切削ツールを使い分けてください。
マーチャント方程式 φ = 45° + α/2 − β/2 は α が負でも数学的に成立し、φ が小さくなって（極端な場合 0 に近づき）切削力が急増することを予測します。物理的にも、負のすくい角ではせん断面が長くなり、より多くのせん断仕事が必要になります。実際の負すくい工具（−5〜−15°）は刃先強度を稼ぐ目的で使われ、力の増加はそのトレードオフとして受け入れます。シミュレーターで α=−15° に設定すると、F_c が約 1.5 倍に増えることが確認できます。
本ツールは二次元直角切削（orthogonal cutting）専用です。斜切削モデルは刃線方向に傾斜角 i（inclination angle）が加わり、切り屑が刃線方向に流れる成分が現れます。Stabler の流れの法則 η_c ≈ i に従い、3 つの力成分（F_c, F_t, F_r、ラジアル方向）が現れます。斜切削は旋削の一般加工（外丸削り、面削り）の解析に不可欠ですが、教育目的ではまず直角切削で基本を押さえてから拡張するのが標準的な順序です。
せん断流動応力 τ_s は被削材のせん断強度に近い値で、降伏強度の約 0.577 倍（フォン・ミーゼス基準）または引張強度の 0.5〜0.7 倍が目安です。低炭素鋼（S45C）で 400〜500 MPa、ステンレス（SUS304）で 500〜700 MPa、アルミ合金（A2017）で 200〜300 MPa、チタン合金（Ti-6Al-4V）で 600〜800 MPa が一般的です。切削中は高温・高ひずみ速度のため動的硬化・熱軟化が同時に起こり、実効 τ_s は静的値の 1.0〜1.5 倍程度になります。Oxley のモデルでは Johnson–Cook 構成式で τ_s を温度・ひずみ速度の関数として動的に評価します。