パラメータ設定
完全気体・断熱・1次元・定常を仮定しています。M_1 ≥ 1 のときのみ衝撃波が成立します。
衝撃波と上流・下流の流れ
左＝上流（薄色・矢印長＝高速）／中央の縦線＝衝撃波／右＝下流（暖色・矢印短＝低速）
M_1 に対する各種比 (P_2/P_1, T_2/T_1, M_2)
赤＝P_2/P_1（左軸）／橙＝T_2/T_1（左軸）／青＝M_2（右軸）／黄縦線＝現在の M_1
理論・主要公式
完全気体を仮定した1次元定常の垂直衝撃波について、ランキン・ユゴニオの関係式は質量・運動量・エネルギー保存から導かれます。上流マッハ数 M_1 と比熱比 γ だけで、下流の状態がすべて決まります。
下流マッハ数 M_2（M_1 が大きいほど 1/√((γ−1)/(2γ)) に近づく）：
$$M_2^2 = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2}{\gamma M_1^2 - \tfrac{\gamma-1}{2}}$$
圧力比（衝撃波強さ）：
$$\frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}\bigl(M_1^2 - 1\bigr)$$
密度比（M_1 → ∞ で (γ+1)/(γ−1) に漸近）と温度比：
$$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma+1)M_1^2}{2 + (\gamma-1)M_1^2}, \qquad \frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{\rho_1}{\rho_2}$$
M_1 = 1 で衝撃波は消滅し、M_1 が大きいほど不連続が強くなります。M_1 \gt 1 の超音速領域でのみ物理的に意味のある解になります。
垂直衝撃波関係式 シミュレーターとは
🙋
超音速の戦闘機の写真でよく見る、機体の周りの白い円錐みたいなやつ、あれって衝撃波ですよね？
🎓
そう、まさに衝撃波だよ。あれは斜め衝撃波だけど、本質はこの「垂直衝撃波関係式」と同じだ。気体は超音速で流れるとどこかで音速以下に落とさないといけない場面が出てきて、そのときに薄い面で圧力・温度・密度がガクッと上がりマッハ数が下がる、という不連続が起きるんだ。シミュレーター上で M_1 = 2 にしたとき、下流が M_2 = 0.578 になるのが確認できるはずだよ。
🙋
え、衝撃波を通ると流れって絶対に亜音速になるんですか？
🎓
垂直衝撃波の場合は必ずそうなる。式 $M_2^2 = (1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2)/(\gamma M_1^2 - \tfrac{\gamma-1}{2})$ を見ると、M_1 が大きいほど分母が大きくなって M_2 はどんどん小さくなる。M_1 → ∞ でも M_2 は γ=1.4 なら 1/√7 ≈ 0.378 までしか下がらないんだ。実際 M_1=5 にしてみると M_2 がだいたい 0.4 付近に張り付くのが見えるよ。
🙋
圧力比と密度比のグラフを見ると、圧力比はぐんぐん伸びるのに密度比は途中で頭打ちになりますね。
🎓
よく気づいた。密度比 ρ_2/ρ_1 の上限は (γ+1)/(γ−1) で、γ=1.4 なら最大でも 6 倍までしか上がらない。一方、圧力比は M_1² に比例して青天井に増える。だから強い衝撃波では「圧力はめちゃくちゃ高いけど密度はそんなに増えない=温度が異常に上がる」状態になる。これが大気圏再突入で機体表面が高温プラズマになる理由だ。
🙋
ちなみに比熱比 γ を 1.20 から 1.67 まで動かせるのはなぜですか？
🎓
単原子気体（ヘリウム・アルゴン）の γ ≈ 1.67、空気の γ ≈ 1.40、CO_2 など多原子分子では γ ≈ 1.30、さらに高温で振動励起・解離が進むと実効 γ は 1.20 近くまで下がる。再突入の数値解析や燃焼器内の衝撃波計算では γ をパラメータとして振ることが多いから、シミュレーターでも調整可能にしたんだ。γ を小さくすると同じ M_1 でも密度比の上限が上がる（γ=1.20 なら最大 11 倍）のが見えるよ。
よくある質問
M_1 = 1 では衝撃波は厚みゼロの「マッハ波」に縮退し、上流と下流の差はゼロになります。実際に式に M_1 = 1 を代入すると P_2/P_1 = 1, ρ_2/ρ_1 = 1, T_2/T_1 = 1, M_2 = 1 となり、衝撃波が存在しません。物理的に意味のある衝撃波解は M_1 \gt 1 の超音速の場合に限られます。シミュレーターのスライダー下限を 1.05 にしているのもこのためです。
熱力学第二法則により禁止されています。もし M_1 \lt 1 で衝撃波があると仮定すると、関係式の解はエントロピーが減少する向きを与えてしまいます。これは断熱系では不可能なので、垂直衝撃波は必ず「超音速→亜音速」の方向にしか存在しません。逆向きの「膨張衝撃波」も存在せず、超音速での加速はプラントル・マイヤー膨張のような連続的な過程でしか起こりません。
ラバール（収縮拡大）ノズルは設計圧力で運転するとスロート以降がスムーズに超音速まで加速されますが、背圧が設計値より高いと出口で超音速の流れを亜音速まで「降ろす」必要が生じます。このとき拡大部の途中に垂直衝撃波が立ち、流れを瞬間的に亜音速にして下流の高圧と整合させます。背圧が下がるほど衝撃波の位置は出口側へ移動し、十分低くなると消えます。
エントロピー変化は Δs/R = ln[(P_2/P_1)·(ρ_1/ρ_2)^γ] で計算でき、衝撃波が強い（M_1 が大きい）ほど急速に増加します。M_1 = 2, γ = 1.4 では Δs/R ≈ 0.33 で、対応する総圧損失は P_02/P_01 = exp(−Δs/R) ≈ 0.72 です。M_1 = 3 では Δs/R ≈ 1.04、総圧比 ≈ 0.35 と、たった一枚の衝撃波で利用可能な総圧の半分以上が失われます。
実世界での応用
超音速航空機・ロケットノズル：戦闘機やロケットの推進系では、燃焼室で生成した高温・高圧ガスをラバールノズルで超音速に加速します。設計外条件で運転すると拡大部に垂直衝撃波が立って総圧損失が生じ、推力低下の原因になります。地上試験で見られる「ショックダイヤモンド」は、出口圧力と外気圧のミスマッチで生じる斜め衝撃波と膨張波の繰り返し模様で、垂直衝撃波関係式と斜め衝撃波関係式（θ-β-M 関係）が設計の両輪になります。
大気圏再突入機の熱防護設計：カプセル型再突入機が高度50〜80kmで M_1 ≈ 20〜30 の極超音速で大気に突入すると、機首前方に強いボウショック（離脱衝撃波）が形成されます。垂直衝撃波関係式を中心線に当てはめると、よどみ点温度は数千〜1万 K に達し、空気が解離・電離してプラズマ化します。アブレータや高温セラミックタイルなどの熱防護システム（TPS）の設計では、この衝撃波後の温度・圧力を正確に予測することが死活問題です。
超音速インテーク（エアブリーザ）：ジェットエンジンの圧縮機は亜音速でしか動作しないため、超音速で飛行する機体ではインテークで流れを亜音速まで減速する必要があります。最も単純なピトー型インテークでは1枚の垂直衝撃波で減速しますが、総圧損失が大きいため、SR-71 やコンコルドでは複数の斜め衝撃波で段階的に減速し、最後だけ弱い垂直衝撃波で亜音速に落とす多段ショック・インテークが用いられます。
衝撃波管・爆発の伝播：軍事・宇宙・基礎物理の実験で広く使われる衝撃波管（ショックチューブ）は、隔膜で仕切った高圧側と低圧側を瞬時に開放することで管内に垂直衝撃波を生成する装置です。垂直衝撃波関係式から、隔膜圧力比とガス組成を選べば任意の M_1 を実現でき、極超音速燃焼や材料の動的応答試験、星間衝撃波の縮約模型など、幅広い研究に応用されています。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「衝撃波の前後で総温（よどみ点温度）が上がる」と考えてしまうことです。垂直衝撃波は熱の出入りがない断熱過程なのでエネルギー保存により総温 T_0 は完全に保存されます。上がるのは静温 T で、これは流速 V が大きく落ちて運動エネルギーが内部エネルギーに変わるためです。シミュレーターで T_2 = 489 K と表示されても、これは静温の話であり、よどみ点温度は上下流で同じ T_0 = T_1(1+(γ−1)/2·M_1²) = 290·1.8 = 522 K のままです。
次に多いのが、密度比に上限があることを見落とすことです。式から分かる通り ρ_2/ρ_1 の極限値は (γ+1)/(γ−1) で、γ=1.4 ならどんなに M_1 を大きくしても 6 倍が限界です。一方、圧力比 P_2/P_1 は M_1² に比例して際限なく増えます。この「圧力は青天井、密度は頭打ち」のアンバランスが、強い衝撃波での T_2 の急上昇を生みます。シミュレーターのグラフでも M_1 = 5 付近で T_2/T_1 と P_2/P_1 のスケール差が顕著に開くことが確認できます。
もう一つ注意したいのが、「式は超音速から亜音速への一方向にしか働かない」という熱力学的制約です。ランキン・ユゴニオの関係式自体は数学的に M_1 \lt 1 を入れても解を返しますが、その解はエントロピーを減少させるため物理的に禁止されています。「下流から上流に向かう衝撃波」も「亜音速を超音速に上げる衝撃波（膨張衝撃波）」も実在しません。シミュレーターで M_1 のスライダーが 1.05 から始まるのはこの理由で、超音速領域でのみ意味のある計算が行われます。