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数值方法模拟器

割线法模拟器 — 无导数的求根

以 f(x)=x³−2x−5 为例，实时可视化割线法 x_{n+1}=x_n−f(x_n)·(x_n−x_{n−1})/(f(x_n)−f(x_{n−1})) 的收敛过程：割线步进与对数误差曲线，无需导数，两个初值与容差均可调。

参数
初值 x_01.00
初值 x_13.00
最大迭代次数30
容差 1e^−n6
计算结果
—
收敛的根
—
迭代次数
—
最终 |f(x)|
—
收敛状态
函数曲线与割线（f(x)=x³−2x−5）
误差 |f(x_n)| 的收敛曲线（log10）
理论与主要公式

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

割线法迭代公式。把牛顿-拉夫森法中的导数 f'(x) 替换为有限差分商所得。

$$f(x) = x^{3} - 2x - 5$$

测试函数（牛顿当年的原例题）。实根 x ≈ 2.094551482。

$$|e_{n+1}| \approx C\,|e_{n}|^{\varphi}, \quad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

超线性收敛（收敛阶为黄金比 φ）。略慢于牛顿法的二阶，但无需评估导数。

$$|f(x_n)| < \varepsilon \quad \text{或} \quad |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$$

收敛判据。容差 ε = 1e^−n，n 为容差滑块的值。

什么是割线法

用过去两个迭代点 (x_{n−1}, f(x_{n−1})) 与 (x_n, f(x_n)) 连成的"割线"与 x 轴的交点作为下一估计的迭代算法。它就是牛顿-拉夫森法去掉导数后的版本，是最简单的"无导数求根法"。

🙋
牛顿法和割线法看公式几乎一样，到底什么时候该用哪个？
🎓
本质相同——割线法就是把牛顿法的 f'(x_n) 换成由过去两个评估值构造的斜率 (f(x_n)−f(x_{n−1}))/(x_n−x_{n−1})。所以当 f'(x) 难以解析得到（实验数据插值、复杂数值积分等）或代价昂贵时，割线法非常适合。收敛是超线性的，阶为 φ≈1.618（黄金比），比牛顿法的二阶慢一点，但每次迭代只算 1 次 f（牛顿法要算 f 与 f' 两次），按函数调用次数折算，两者旗鼓相当。
🙋
把 x_0=1, x_1=3 时七步就收敛了，但换成 x_0=−2, x_1=−1 就飞到奇怪的方向。为什么？
🎓
观察得很准。多项式 f(x)=x³−2x−5 只有一个实根 x≈2.0946。两个初值都取负值时 f(x_0)、f(x_1) 都是负的，割线斜向上很陡，与 x 轴的交点会远远落在正方向——典型的过冲。这就是局部收敛的代价。比较稳的做法是让 f(x_0)·f(x_1)<0（两个初值夹住根）；更保险地，使用 Brent 法（scipy.optimize.brentq）把二分法的安全性与割线法的速度结合起来。
🙋
把容差降到 1e^−12，迭代次数会爆炸吗？你说割线法比牛顿法慢嘛。
🎓
出乎意料地便宜。超线性阶 φ≈1.618 已经很强：从 1e^−6 到 1e^−12 通常只多 2〜3 次迭代（牛顿法多 1〜2 次）。在 CAE 里，割线法的多维表亲——准牛顿法（Broyden、BFGS、L-BFGS）——正是 Abaqus、ANSYS 在非线性 FEA 里避免每一步都重新装配切线刚度矩阵的关键。

物理模型与主要公式

割线法把牛顿-拉夫森法 x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f'(x_n) 中的导数，用过去两个迭代点的有限差分斜率近似。

$$f'(x_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}}$$

代入并整理，得到割线法的更新公式：

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

几何上，过 (x_{n−1}, f(x_{n−1})) 与 (x_n, f(x_n)) 的直线（割线）与 x 轴的交点即为 x_{n+1}。

收敛速率（误差 e_n = x_n − x*）：

$$|e_{n+1}| \approx \left|\frac{f''(x^{*})}{2f'(x^{*})}\right|\,|e_{n}|\,|e_{n-1}|, \quad \text{阶} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

"黄金比"自然地出现——这就是超线性收敛（快于线性、慢于二阶）的标志。

实际应用

准牛顿优化（CAE）：多维 F(x)=0 或 grad f(x)=0 问题中，组装 Jacobian 或 Hessian 代价昂贵。Broyden 法（求根）与 BFGS / L-BFGS（优化）从历次更新中渐近近似 J⁻¹ 或 H⁻¹，正是 1 维割线法的多维推广。

Brent 法（通用一维求根）：scipy.optimize.brentq、MATLAB 的 fzero、Boost 的 brent_find_minima 默认都使用 Brent 法，把二分法的稳健性与割线法、逆二次插值的速度结合在一起。

非线性 FEA 中的修正牛顿法：Abaqus、ANSYS 在多个荷载步内复用同一切线刚度 K=∂R/∂u，以分摊 LU 分解的代价；此时平衡迭代在内部表现为类似割线法的更新。BFGS 修正在隐式非线性求解器中也被广泛使用。

金融工程中的隐含波动率：从市场价格反求 Black-Scholes 的波动率 σ 时，为了避免解析计算 ∂C/∂σ（Vega），常用割线法迭代。许多交易系统每秒会重复执行这一循环数千次。

常见误解与注意事项

最大的误区是"割线法只是牛顿法的劣化版"。虽然收敛阶为 1.618 vs 2，但按"每次函数评估"折算，割线法的有效收敛率约为 φ≈1.618，牛顿法约为 √2≈1.414（在 f 与 f' 分别评估的情况下）——所以从墙钟时间看，割线法甚至更快。如果 f' 的评估成本与 f 相当，割线法理由充足。

第二，"两个初值必须夹住根"是错的。割线法不要求 f(x_0)·f(x_1)<0。但若不夹根，割线很容易跨过根飞出去。把模拟器设成 x_0=−2, x_1=−1 就能看到：两个 f 值都为负，割线斜向上，下一步立刻冲到右边很远。安全做法是先用二分法夹根，再切到割线法——这就是 Brent 法的思想。

第三，留意分母 f(x_n)−f(x_{n−1}) 的零除。当连续两点的函数值几乎相同时，分母趋于 0，更新量爆炸。鲁棒实现会在 |f(x_n)−f(x_{n−1})| 低于某阈值（如 1e−14）时终止迭代，或从新点重启。CAE 中的准牛顿法在 Jacobian 近似失效时也内置类似的"重启"机制。

常见问题

割线法把牛顿法 x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f'(x_n) 中的解析导数 f'(x_n) 替换为由过去两个迭代点构造的有限差分商 (f(x_n)−f(x_{n−1}))/(x_n−x_{n−1})，无需解析或数值微分，仅用函数评估即可推进。收敛是超线性的，阶为 φ≈1.618，略慢于牛顿法的二阶，但每次迭代只需 1 次 f，所以按函数调用折算两者效率相当。
二分法要求初始区间满足 f(a)·f(b)<0，线性收敛（误差每次减半），慢但绝对安全。割线法需要两个初值但不要求夹根，超线性收敛（阶 φ≈1.618），快但不保证收敛。Brent 法把两者结合起来兼顾稳健与速度——scipy.optimize.brentq 内部正是用 Brent 法实现的。
可以。多维推广就是 Broyden 法，使用秩一更新从历次迭代中近似 F(x)=0 的 Jacobian J。优化问题（grad f(x)=0）有对应的 BFGS、L-BFGS 法，近似 Hessian H。两者都是 scipy.optimize.minimize 的常用算法，也是深度学习二阶优化器的核心。
当分母绝对值降到接近机器精度（约 2.2e−16）时，标准做法是终止迭代并报告失败，或者从两个新点重启，或者切换到二分法。本模拟器在 |f(x_n)−f(x_{n−1})| < 1e−14 时停止迭代。

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