応力状態の入力
プリセット材料
フォンミーゼス：
$$\sigma_{eq}=\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}\leq \sigma_y$$
トレスカ： $\tau_{max}= \dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\leq \dfrac{\sigma_y}{2}$
Lodeパラメータ： $\mu = \dfrac{2\sigma_2-\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1-\sigma_3}$， $-1 \leq \mu \leq 1$
応力三軸度： $\eta = \dfrac{p}{q}= \dfrac{(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)/3}{\sigma_{eq}/\sqrt{3}}$
降伏条件比較ツールとは
🙋
降伏条件って、材料が壊れるかどうかを判断する基準ですよね？フォンミーゼスとトレスカって、どっちを使えばいいんですか？
🎓
大まかに言うと、材料の性質で使い分けるんだ。例えば、多くの延性金属（鉄やアルミ）は、せん断ひずみエネルギーに基づくフォンミーゼス条件が実験とよく合う。一方、最大せん断応力に基づくトレスカ条件は、より保守的で安全側の設計になることが多いよ。このツールのスライダーで主応力$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$を変えてみると、二つの条件で「安全率」がどう変わるか、すぐに比べられるぞ。
🙋
え、安全率が違って出るんですか？じゃあ、設計する時はどちらを信じれば？あと、グラフに描かれる六角形と円は何ですか？
🎓
その通り。同じ応力状態でも、トレスカの方が早く「降伏する」と判断するから、安全率は低く出る。実務ではフォンミーゼスを使うことが多いけど、非常に安全を重視する部品ではトレスカを使うこともある。グラフの六角形がトレスカ、円がフォンミーゼスの降伏曲面の断面だ。今の応力点($\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$)がその内側にあれば安全、外なら危険ということだ。表示モードを「デビエーター平面」に切り替えると、この形の違いがもっとクリアに見えるよ。
🙋
なるほど！でも、もう一つ「ドラッカープラガー」って条件もありますよね。あれは何が違うんですか？「摩擦角」ってパラメータも初めて見ました。
🎓
良いところに気が付いたね。ドラッカープラガー条件は、土やコンクリートのような「圧縮に強い」材料（粒状体）のためのモデルだ。フォンミーゼスの円を傾けたような円錐になる。その傾きを決めるのが「摩擦角$\phi$」で、材料の内部摩擦の大きさを表すんだ。ツールで$\phi$を0°から大きくしてみてごらん。降伏面がどんどん開いて、圧縮側（静水圧が負）で大きく強度が上がるのがわかる。地盤の崩壊解析やコンクリート構造の設計でよく使われる重要な条件だ。
よくある質問
フォンミーゼスは円筒状、トレスカは正六角柱状、ドラッカープラガーは円錐状です。静水圧成分の影響を考慮するかどうかで形状が異なり、ドラッカープラガーのみ圧力依存性を表現できます。
各降伏条件における相当応力と材料の降伏応力の比（降伏応力÷相当応力）で算出します。値が1以上なら弾性域、1未満なら降伏と判定されます。Lodeパラメータも同時に表示され、応力状態の種類（単軸・純せん断・二軸など）を把握できます。
土壌、コンクリート、岩石など静水圧に依存して強度が変化する材料に適します。フォンミーゼスやトレスカでは表現できない、圧縮強度と引張強度の差を考慮できる点が特徴です。
主応力の符号（引張・圧縮）と大小関係に注意してください。特にトレスカ条件では主応力の順序入れ替えで降伏判定が変わるため、σ1≧σ2≧σ3の順序を保つと正しく評価できます。
実世界での応用
金属部品の強度設計：自動車のエンジン部品やフレームの設計では、複雑な応力状態下での降伏を予測するため、CAEソフト（Abaqus等）でフォンミーゼス条件が広く用いられます。トレスカ条件はより安全側の簡易評価に使われることがあります。
板金プレス・フォージング加工：塑性加工のシミュレーションでは、材料がどのように流れ、変形するかを予測するために降伏条件が不可欠です。加工硬化を考慮した発展型のモデルが使われます。
地盤・土質力学：斜面の安定解析や基礎の支持力計算では、土のせん断強度が圧縮応力に依存するため、ドラッカープラガー条件やモールクーロン条件が用いられます。摩擦角$\phi$は重要な設計パラメータです。
複合材料・破壊力学：材料の延性破壊を精度よく予測するためには、静水圧（三軸応力度）の影響を考慮する必要があります。GTNモデルなどの高度な損傷モデルでは、降伏条件に静水圧項を加えた拡張フォンミーゼス条件が基礎として使われます。
よくある誤解と注意点
このツールを使い始めるときに、特にCAE初心者が陥りがちな落とし穴がいくつかあります。まず大きな誤解は、「安全率が大きければ絶対に安全」と思ってしまうこと。例えば、トレスカ条件で安全率が1.5、フォンミーゼスで2.0と計算されたからといって、そのまま設計に使うのは危険です。これらの降伏条件はあくまで「初期降伏」の判断基準。実際の部品には応力集中や疲労、クリープなど、このツールでは考慮していない複合的な破壊モードが存在します。ツールの結果は材料選択や初期設計の「目安」と捉え、最終的には詳細なシミュレーションや実験検証が必要です。
次に、主応力の大小関係の自動ソートについて。ツールでは$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$を自由に入力できますが、トレスカ条件の数式$\tau_{max}= (\sigma_1 - \sigma_3)/2$は、暗黙のうちに$\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$を仮定しています。ツール内部ではこのソート処理が行われているはずですが、自分で手計算する際はこの順序付けを忘れると大きな誤りになります。例えば(100, 0, 50) MPaの場合、最大せん断応力は(100-0)/2=50 MPaではなく、正しくソートした(100, 50, 0)に基づく(100-0)/2=50 MPaとなります（この例では偶然一致）。
最後に、ドラッカープラガー条件の「摩擦角」の現実的な範囲。ツールで0°から大きくできますが、実際の材料では砂で30°〜40°、通常のコンクリートで30°前後など、材料ごとに大まかな範囲が決まっています。例えば摩擦角を60°など非現実的な値にすると、降伏面が極端に開き、現実とかけ離れた「圧縮に非常に強い」架空の材料を扱っていることになります。まずは代表的な材料の値を調べてから使うのがコツです。