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トライボロジーシミュレーター

2円筒線接触シミュレーター — ヘルツ線接触

2つの平行円筒に押し付けられた線荷重から、ヘルツ線接触の接触半幅と最大接触応力を可視化。ローラ軸受・カム・歯車歯面の接触応力評価に役立つツールです。

パラメータ設定
線荷重 P'
N/mm
円筒 1 半径 R1
mm
円筒 2 半径 R2
mm
弾性係数 E
GPa

両材質を同じ鋼（ポアソン比 ν=0.3）と仮定しています。凸-凹接触では R2 に大きな半径を入力してください。

計算結果
—
等価半径 Re
—
接触半幅 a
—
最大接触応力 pmax
—
平均接触応力 pavg
2円筒断面と接触帯／ヘルツ圧分布

左＝2円筒の断面と接触幅 2a の接触帯／右＝ヘルツ圧分布 p(x)=pmax·√(1-(x/a)²)（中央が pmax）

理論・主要公式

2つの平行円筒（半径 $R_1$, $R_2$）が単位長さあたり線荷重 $P'$ で押し付けられたときのヘルツ線接触式。

等価半径と等価弾性係数：

$$\frac{1}{R_e} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}, \quad \frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1} + \frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

接触半幅 $a$ と最大接触応力 $p_\text{max}$：

$$a = \sqrt{\frac{4\,P'\,R_e}{\pi\,E^*}}, \quad p_\text{max} = \sqrt{\frac{P'\,E^*}{\pi\,R_e}} = \frac{2\,P'}{\pi\,a}$$

接触幅方向のヘルツ圧分布と平均接触応力：

$$p(x) = p_\text{max}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}, \quad p_\text{avg} = \frac{\pi}{4}\,p_\text{max} = \frac{P'}{2a}$$

凹-凸の接触（例：玉と外輪溝）では凹面の半径を負として $1/R_e$ に代入します。点接触（球）の場合は別式となり、a が荷重の 1/3 乗で増えます。

2円筒線接触シミュレーターとは

🙋
ローラ軸受って、コロが内輪と外輪に挟まれて転がってますよね。あの接触って、実際にはどれくらい狭い帯で力を受けてるんですか？
🎓
それがまさに「ヘルツ線接触」だよ。ざっくり言うと、円筒同士は理論的には「線」で接するけど、押し付けると幅 $2a$ の細い帯になる。例えばこのシミュレーターのデフォルト値（線荷重 $P'=1000$ N/mm、$R_1=20$ mm、$R_2=30$ mm、鋼-鋼）で計算すると、接触帯の幅は $2a \approx 0.73$ mm、髪の毛8本分くらい。そこに 1750 MPa＝降伏応力の何倍もの圧力がかかっているんだ。
🙋
え、降伏応力を超えてるんですか？それなのに壊れないんですか？
🎓
そこが面白いところで、ヘルツ接触は「三軸圧縮状態」なんだ。接触点直下は周囲から拘束された圧縮場で、せん断応力が小さく押さえられている。実際に破壊が起きるのは、最大せん断応力が発生する地下深さ $z \approx 0.78a$ 付近。そこから疲労亀裂が伸びてフレーキング（剥離）という剥がれ落ち損傷になる。これがローラ軸受の寿命の正体だよ。シミュレーターで $P'$ を増やしてみて — $p_\text{max}$ は $\sqrt{P'}$ で増えるから、荷重を 4 倍にすると応力は 2 倍にしかならない。点接触（球）が 2/3 乗で増えるのと違うんだ。
🙋
$R_1$ や $R_2$ を変えると、どっちが効くんですか？小さい方を変えた方が効くんでしょうか？
🎓
いい質問だ。等価半径 $R_e$ は調和平均で $1/R_e = 1/R_1 + 1/R_2$ だから、小さい方が支配的。例えば $R_1=20$, $R_2=30$ なら $R_e=12$ mm で、$R_1$ にずっと近い。だから $R_2$ を 30 から 60 に倍増させても $R_e$ は 15 mm にしか上がらず、$p_\text{max}$ は 10%程度しか下がらない。逆に小さい方の $R_1$ を 20 から 40 に倍増すれば $R_e=24$ mm、$p_\text{max}$ は 30% も下がる。「ボトルネック側の半径を太くする」のが基本だよ。
🙋
弾性係数 $E$ を変えても応力が変わりますね。柔らかい材料の方が応力が低くなる感じですか？
🎓
そう、$p_\text{max} \propto \sqrt{E^*}$ だから、$E$ を半分にすると応力は約 $1/\sqrt{2}$ 倍になる。だからプラスチック歯車（$E \approx 3$ GPa）は鋼（$E=210$ GPa）の 1/8 程度の接触応力で済む。ただし材料が柔らかい分、接触幅 $a$ が広がって接触面の変形量も増えるから、騒音や精度低下の問題が出てくる。設計はいつでもトレードオフだね。点接触（球）のケースは hertz-contact.html、深さ方向の応力分布は subsurface-stress-hertz.html、楕円接触は contact-ellipse-hertz.html、車輪レール線接触の応用は wheel-rail-contact.html を参照してね。

よくある質問

線接触の式は単位長さあたりの線荷重 P' [N/mm] で表されます。ローラの有効接触長さ L [mm] と総荷重 P [N] の関係は P' = P / L です。例えばコロ長さ 25 mm のローラに 25000 N がかかれば P' = 1000 N/mm になります。実際にはローラ端部の応力集中（エッジ効果）を避けるためクラウニング（樽型形状）を施すため、有効長さは実寸より短く見積もります。
玉軸受の玉と外輪溝のように凸面と凹面が接触する場合、凹面側の半径を負の値として 1/R_e = 1/R_1 + 1/R_2 に代入します。凹面と凸面の半径が近いほど R_e が大きくなり、接触帯が広がって接触応力が下がります。これが「適合（コンフォーマル）接触」と呼ばれる設計です。本シミュレーターは正値のみ受け付けるため、近似的には R_2 に大きな値を入れて代用してください。
用途と材料で大きく変わりますが、目安として高炭素クロム軸受鋼（SUJ2）のローラ軸受では p_max = 2000〜4000 MPa が許容されます。歯車歯面（浸炭鋼）では 1500〜2500 MPa、シャフトのカム接触では 1000〜2000 MPa 程度です。p_max が降伏応力を超えても直ちに塑性変形するわけではないのは、ヘルツ接触が3軸圧縮状態でせん断応力が抑えられているためです。寿命予測は p_max でなく繰り返し回数と組み合わせた Lundberg-Palmgren 式や Harris 式で行います。
理想的な平行円筒接触なら線接触式を使います。コロ軸受（円筒コロ軸受、ニードルベアリング、テーパローラ）、歯車のかみ合い、カムとフォロワ、ホイールとレールは線接触に分類されます。一方、ボール軸受、ボール-平面接触、半球状先端は点接触式を使います。両者の中間（テーパローラと球面ローラなど）は楕円接触になります。詳細な点接触は hertz-contact.html、楕円接触は contact-ellipse-hertz.html を参照してください。

実世界での応用

ローラ軸受（円筒コロ・ニードル・テーパローラ）：本シミュレーターが最も直接的に適用される対象です。コロと内輪・外輪の軌道面の接触は典型的な平行円筒線接触で、設計荷重を線荷重 P' に換算してから p_max を評価します。SUJ2 では p_max=4000 MPa が転がり接触疲労寿命の目安です。実際にはコロ端部の応力集中を避けるためクラウニング（樽型）形状で接触圧分布を中央に寄せ、寿命を延ばします。

歯車歯面の接触（ヘルツ応力）：かみ合い瞬間の歯面接触は、各点で曲率の異なる線接触として扱われます。歯車設計の標準である ISO 6336 や AGMA 2001 では、ピッチ円上の接触応力 σH を求めて許容値と比較しますが、その基礎式はヘルツ線接触そのものです。ピッチング（点蝕）や歯面破損（フレーキング）の評価に直結する設計式です。

カムとフォロワの接触：カムプロファイルとローラフォロワ／フラットフォロワの接触もヘルツ線接触で評価します。カム回転中に曲率半径が連続的に変化するため、各位相での R1（カム半径）を計算し、最も応力が高くなる位相での p_max を設計クリティカルとします。エンジンのバルブカムでは p_max=1500〜2000 MPa の管理が一般的です。

鉄道車輪とレールの接触：車輪踏面とレール頭頂面の接触は近似的に2円筒の線接触で、p_max は 1000〜1500 MPa に達します。繰り返し転がり接触によるレール頭頂面のシェリング・スコーリング欠陥や、車輪フランジの摩耗予測の基礎です。詳細は wheel-rail-contact.html を参照してください。

よくある誤解と注意点

最も多い誤解は、「接触応力 = 降伏応力を超えたら即座に塑性変形する」という思い込みです。ヘルツ接触は接触点直下が周囲材料に拘束された3軸圧縮状態にあり、せん断応力は最大主応力の半分以下に抑えられます。鋼のヘルツ接触では p_max が降伏応力 σy（鋼で 200〜800 MPa）の 3〜5 倍に達しても、ミーゼス応力ベースのシェイクダウン解析では弾性域に留まることが多い。実際にローラ軸受で p_max=4000 MPa が許容されるのは、この3軸圧縮の効果です。一軸引張の感覚を持ち込まないように注意してください。

次に多いのが、「最大応力が表面に発生するから、表面処理で寿命が決まる」という誤解です。線接触では確かに p_max は接触帯中央の表面で発生しますが、転がり接触疲労（RCF）の起点となる最大せん断応力 τ_max ≈ 0.30·p_max は地下深さ z ≈ 0.78·a の位置に発生します。デフォルト条件では a=0.364 mm なので、約 0.28 mm の深さです。だから熱処理は「表面硬化」だけでなく、有効硬化層深さがこの応力深さを十分にカバーすることが重要。浸炭・高周波焼入れの深さ指定はこの理論深さに余裕を持たせて決めます。

最後に、「ヘルツ式は摩擦・潤滑・接線力を無視した理想式」であることを忘れがちです。本式は法線荷重のみを考慮した完全弾性・滑り無しの仮定です。実際の転がり接触では微小滑り（マイクロスリップ）や接線力が加わり、最大せん断応力位置が表面に近づきます（McEwen の解）。潤滑油膜が薄い場合は表面起点の損傷（ピーリング、スマッジング）も発生します。EHL（弾性流体潤滑）解析や、深さ方向の応力分布を考慮した詳細評価は subsurface-stress-hertz.html を参照してください。設計の第一近似としてヘルツ式は強力ですが、その仮定の境界を理解することが実務では決定的に重要です。

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