階層的妥当性確認
理論：誤りは打ち消し合う
概要
製品全体の試験と解析が合っていれば、モデルは正しいと言えるんじゃないですか？
合っている量については正しいかもしれないが、ほかの量まで正しいとは限らない。モデルにはいくつもの仮定と定数があり、ある誤りを別の定数の調整で埋め合わせると、調整に使った量はぴたりと合う。でも誤りそのものは残っているので、条件や見る量が変わると外れる。これを防ぐのが階層的な妥当性確認だ。材料、部品、接合部、全体と段階に分け、それぞれを独立した試験で確かめる。そうすると、どの仮定がどの結果に効いているかがわかり、全体の試験は最後の確認になる。簡単な梁の例で、埋め合わせがどう起きるかを見てみよう。
根元に回転ばねがある片持ち梁
「実際」の梁：鋼、長さ1 m、幅50 mm、厚さ20 mm（EI = 6,667 N·m²、1 mあたり7.85 kg）、根元の回転ばね k_θ = 6.67×10⁴ N·m/rad（EI/(k_θL) = 0.1）。先端荷重 P = 1 kN、分布荷重 q = 1 kN/m。固有振動数はオイラー・ベルヌーイ梁要素40個の有限要素法で計算した。
ピラミッドとしての妥当性確認
階層的な妥当性確認は、1990年代からアメリカの国立研究所で、核兵器の試験ができなくなった状況でシミュレーションの信頼性をどう示すかという課題の中で体系化された。オーバーカンプらは、単純な物理現象の試験から実機の試験までを段数の多いピラミッドとして描き、下の段ほど試験の数を多く、上の段ほど少なくする考え方を示した。2006年のASME V&V 10は、これを固体力学の分野の指針としてまとめている。
計算例
例：根元固定のモデルでヤング率を調整して1次固有振動数に合わせる
| 量 | 実際 | 固定・E調整（142.5 GPa） | 固定・E = 200 GPa |
|---|---|---|---|
| 1次固有振動数 | 13.77 Hz | 13.77 Hz（一致） | 16.31 Hz (+18.5%) |
| 2次固有振動数 | 89.77 Hz | 86.26 Hz (−3.9%) | 102.20 Hz (+13.8%) |
| 3次固有振動数 | 257.50 Hz | 241.54 Hz (−6.2%) | 286.16 Hz (+11.1%) |
| 分布荷重1 kN/mの先端たわみ | 26.25 mm | 26.32 mm (+0.3%) | — |
| 先端荷重1 kNの先端たわみ | 65.00 mm | 70.18 mm (+8.0%) | 50.00 mm (−23.1%) |
| 先端荷重1 kNの根元ひずみ | 1,500 μ | 2,105 μ (+40.4%) | 1,500 μ |
1次の振動数と分布荷重のたわみが両方合っているのに、ひずみは40%も違うんですね。
根元が回る分のやわらかさを、モデルは梁全体をやわらかくする（ヤング率を下げる）ことで埋め合わせた。1次の振動や分布荷重のたわみは、根元の回転と梁の曲げが似た割合で効くので、たまたま両方合う。2つの量が合えば、検証できたと思ってしまうだろう。しかし先端荷重では根元の回転の効き方が違うので8%ずれ、高次の振動数もずれる。最もずれるのはひずみで、ひずみはヤング率に反比例するので、下げたヤング率の分だけそのまま40%大きく出る。ひずみゲージで比べれば合わないし、疲労の評価をひずみで行えば誤る。階層的に、材料試験でヤング率を、取り付け部の試験で回転ばねを別に決めていれば、こうした埋め合わせは起こらない。
階層的な妥当性確認の進め方
- 製品を、材料・部品・接合部・サブシステム・全体の階層に分ける。
- 各階層で、そのモデルの仮定を確かめられる試験を計画する。
- 下の階層で決めた定数は、上の階層で調整し直さない。
- 全体の試験では、合わせに使っていない複数の量（変位・ひずみ・振動数）を比べる。
- 合わない場合は、どの階層の仮定が原因かをさかのぼって調べる。
「振動試験では合っていた架台」
ある装置の架台で、解析モデルを加振試験の1次固有振動数に合わせるため、溶接部の板厚を少し薄くして調整していた。その後、運転中に別の部位でき裂が見つかった。調べると、実際にやわらかかったのは溶接部ではなく、床へのボルト固定部だった。調整したモデルでは応力の分布が実際と違い、き裂の起きた部位の応力を低く見積もっていた。ボルト固定部の剛性を単独の試験で求めてモデルを作り直すと、き裂の位置で応力が高くなり、実際と合った。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| 全体試験だけで調整 | 誤りが打ち消し合う | 階層ごとに確認 |
| 調整に使った量で検証 | 見かけの一致 | 別の量で比べる |
| 物理的でない定数で合わせる | 条件が変わると外れる | 原因の部位を特定 |
| 接合部を剛と仮定 | 剛性・応力分布を誤る | 接合部を単独で試験 |
| 試験の不確かさを無視 | 過剰な調整 | 不確かさ内で比較 |
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