NAFEMS LE11: 厚肉円筒の熱応力
ベンチマークの仕様と理論的背景
LE11は何を検証する問題か
NAFEMS LE11は熱応力解析の標準検証問題です。外力は一切なく、温度場だけで応力を発生させる——つまり「温度場の取り込み→熱ひずみ \( \varepsilon_{th} = \alpha \Delta T \) →拘束による応力」という熱応力チェーンの全段を1問で検査します。機械荷重の検証（LEシリーズの他問題）が通っていても、熱応力はこのチェーン固有のバグ（温度の補間・αの扱い・参照温度）を持つため、専用のベンチマークが用意されているのです。
問題設定
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 形状 | 軸対称ソリッド（円筒＋テーパー＋球面が滑らかにつながる回転体・肉厚形状） |
| 材料 | \( E = 210 \) GPa、\( \nu = 0.3 \)、\( \alpha = 2.3\times10^{-4} \) /°C |
| 温度場 | 座標の関数として直接規定：\( T(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2} + z \) （軸対称座標では \( T = r + z \)） |
| 拘束 | 両端の平面で軸方向変位を拘束（＋軸対称条件）。外力なし |
| 目標値 | 点A（内面側の規定点）の軸方向応力 \( \sigma_{zz} = -105 \) MPa |
なぜ「意地悪な良問」なのか
温度を入れて応力を見るだけ…ですよね？ どこが難しいんですか？
3つ仕掛けがあるんだ。①温度場が座標の連続関数として与えられる——「一様温度」や「2点間の線形」では表せないから、ツールの温度場入力機能（関数・場のマッピング）を正しく使えるかが試される。②評価するのが応力、しかも曲面形状の内面——応力の外挿・平均化・座標系（軸方向成分）の扱いが数字に直結する。③熱応力は拘束と膨張のバランスで決まるから、拘束を1面間違えるだけで答えが大きく動く。温度・拘束・応力評価という熱応力解析の3大事故ポイントを、たった1問で全部踏ませる設計なんだよ。
実施手順と収束確認
標準的な実施手順
- 軸対称モデル化 — 2D軸対称要素（2次の8節点四辺形推奨）。回転軸の設定（どの軸が対称軸か）をツール規約で確認
- 温度場の付与 — \( T = r + z \) を座標の関数として直接節点温度に与える。参照温度（ひずみゼロの温度）は0に設定
- 拘束 — 両端面の軸方向変位を拘束。半径方向は軸対称性が自動で処理
- メッシュ系列 — 3水準で点Aの \( \sigma_{zz} \) の収束を確認。曲面境界の形状近似（要素の辺が円弧をどう近似するか）も細分で改善される点に注意
- 評価 — 点Aの応力を非平均値・平均値の両方で確認し、−105 MPa への収束を報告
合否の目安
2次要素の適度なメッシュで目標値±2〜3%に入り、細分で±1%程度へ収束するのが健全な挙動です。応力の評価点が曲面上にあるため、①要素の応力を節点へ外挿した値か積分点値か、②平均化の範囲、で数%は動きます——「どの定義の応力か」を明記して報告するのは結果解釈の一般則どおりです。
温度場を「汚さず」に与える
この問題の核心は温度の与え方です。粗い熱解析の結果をマッピングしたり、少数の等温領域で近似したりすると、その温度誤差が応力誤差に直結します（熱ひずみは温度に線形、応力は拘束次第で増幅）。LE11は温度場が閉形式で与えられているので、関数入力（式・座標依存テーブル）で機械精度まで正確に与えるのが正解です。この「温度をどう渡すか」の経路確認こそ、実務の連成解析（熱解析→構造解析のマッピング）を検証する予行演習になります。
実務での活用法
熱応力チェーンの受け入れ試験として
LE11の実務価値は、熱→構造の解析チェーンの受け入れ試験にあります。①ソルバー更新時の回帰確認、②熱解析と構造解析が別ツールの場合の温度マッピング経路の検証（LE11の温度場を熱解析側で再現→マッピング→応力が−105 MPaに乗るか）、③新人教育（参照温度・α・拘束の概念を1問で体得）。入力ファイルと期待値をスクリプト化して検証台帳に載せれば、T4（熱側）とLE11（熱応力側）で伝熱〜熱応力の基本チェーンがカバーできます。
実務で効く教訓——αと参照温度
LE11ではαが定数なので単純ですが、この問題を通すと実務の落とし穴が見えるようになります。①参照温度（ひずみゼロ温度）——応力は \( T - T_{ref} \) で決まる。組立温度・無応力温度の設定ミスは熱応力解析の事故原因の筆頭、②温度依存α——「瞬間α」と「割線α（基準温度からの平均）」の2定義があり、ツールがどちらを要求するかの取り違えは高温域で大きな誤差になる、③拘束の現実性——完全拘束は最大応力側の理想化。実物の支持剛性次第で応力は大きく緩む（境界条件検証の感度確認へ接続）。
段階拡張のさせ方
LE11合格後の1ステップ拡張として、①温度場を自前の熱解析（T4型）で作って渡す（マッピング検証）、②温度依存物性を入れて非線形熱応力へ、③拘束をばね支持化して支持剛性感度を見る、が実務直結の練習になります。「参照値のある問題からの1ステップ拡張」で自分の使う機能を順に検証する——T4の回で述べた段階検証の思想は熱応力でも同じです。
ツール別の設定方法
座標依存温度場の入力方法
| ツール | 温度場の与え方 | メモ |
|---|---|---|
| Ansys Mechanical | Thermal Condition＋座標の関数定義（またはExternal Data） | 参照温度は環境温度（Environment Temperature）設定に注意 |
| Abaqus | *TEMPERATUREに解析場（Analytical Field）で式を指定 | 初期温度（*INITIAL CONDITIONS）＝参照状態の管理 |
| Nastran系 | TEMP/TEMPD（節点温度）＋生成スクリプトで座標式を評価 | TREFはMAT1カード側 |
| COMSOL | 式をそのまま入力（T = sqrt(x^2+y^2)+z） | 最も直接的。熱応力インターフェースで一体構成 |
| CalculiX / オープンソースFEM | 節点温度を座標式から生成して入力デッキに書き込む | 入力生成スクリプトの検証も兼ねる |
軸対称モデルの規約差に注意
軸対称解析は「どの軸が回転軸か」（X軸かY軸か）、「フープ応力の成分名」（σzzがツールにより軸方向だったり周方向だったりする）の規約がツールごとに違います。LE11の目標値は軸方向応力——自分のツールの成分表記でどれに当たるかを、単純な検算（一様加熱の拘束円筒等）で確認してから読み取ると、成分取り違えの事故を防げます。
ベンチマーク文化と熱応力の現在
LEシリーズの中での位置
NAFEMS LEシリーズは線形弾性の「1問1機能」集で、LE11は熱荷重担当です。LE5（Z断面のねじれ＝薄肉開断面のそり拘束）・LE10（厚板の曲げ）などと組み合わせ、使う要素タイプ×荷重タイプの行列を検証済みベンチマークで埋めていくのが、解析環境の体系的な検証法です。空欄＝未検証の機能、という見える化はT4の回で述べた通りです。
熱応力検証の現代的意義
電子実装（リフローの反り：リフロー解析）、金属AM（溶接・積層の残留応力）、パワーデバイスの熱疲労——現代の熱応力解析は、温度場が複雑・非定常・多材料界面つきという方向へ難化しています。だからこそ、チェーンの基本段を切り分けて検証できるLE11のような単純問題の価値はむしろ上がっています。複雑な実問題で「合わない」ときに立ち返る基準点として、検証台帳の1行目に置いておくべき問題です。
参照解の精密化と自動化
T4同様、現代の計算資源ならLE11も超細密メッシュ＋Richardson外挿で参照値の桁を自分で増やせます。CIへの組み込み（コミットごとに±0.5%許容で自動判定）も軽量な問題サイズゆえ容易で、「熱応力の回帰テスト」を数分で回せる資産になります。
トラブル対応
「−105 MPaにならない」ときの診断表
| 症状 | 考えられる原因 | 対策 |
|---|---|---|
| 応力がほぼゼロ | 拘束忘れ（自由膨張は無応力）、αまたはΔTがゼロ | 両端面の軸方向拘束、参照温度=0、αの単位を確認 |
| 符号が逆 | 温度場の符号・参照温度の取り違え | T−Trefの符号を確認 |
| 数十%大きい/小さい | 温度場を一様・線形で近似した、αの単位（10⁻⁴と10⁻⁶） | 座標関数で厳密に付与。α=2.3e-4は「この問題の指定値」であり実鋼材（約1.2e-5）と違う点に注意 |
| 数%ずれたまま収束 | 応力の評価定義（平均/非平均・外挿）、評価点位置のずれ | 定義を揃えて再抽出。点Aの座標を仕様で再確認 |
| メッシュ細分で値が振動 | 曲面の形状近似（低次要素の折れ線） | 2次要素＋曲面に忠実なメッシュへ |
| 軸対称でなく3Dで解いたら合わない | 3D固有の拘束不足（回転剛体モード）・周方向メッシュ粗さ | まず軸対称で合格させ、3D化は拡張として比較 |
仕上げの一言
LE11が±1%で通りました！ これで熱応力解析は安心してよいですか？
「線形・定数物性・与えられた温度場」のチェーンは検証済み——これは大きな一歩だよ。次に実務との差分を埋めるのは、①温度場を自分の熱解析から持ってくる経路（マッピング）、②温度依存物性と参照温度の管理、③拘束の現実性、の3つ。LE11はその3つを「1ステップずつ足して確かめる」ための土台になる。ベンチマークは合格して終わりじゃなく、実問題との差分を積み上げる出発点——この使い方ができれば、検証文化はもう根付いたも同然だ。
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