抛物面反射镜天线的CAE分析
理论与物理
概述 — 为何抛物面天线分析如此困难
抛物面天线分析难在哪里？不就是抛物面反射一下吗？
问得好。抛物面将电波转换为平面波的原理本身很简单。但实际分析时，对于电尺寸大的天线——即口径为波长100倍以上的那种——全波FEM分析的内存完全不够。例如Ku波段（12 GHz，波长25 mm）下直径1.2 m的卫星广播天线，$D/\lambda = 48$ 左右。即使这样，用3D FEM求解也需要数千万自由度。
啊？区区一米多的直径就这么耗资源吗？
电磁场的网格需要波长1/10~1/6左右的单元尺寸。$D/\lambda = 48$ 的话，单方向约300个单元，三维就是数百万单元。直径超过10 m的射电望远镜，$D/\lambda$ 会达到数千，全波法就完全不现实了。所以需要结合物理光学（PO）和几何绕射理论（GTD）等渐近法的混合法。副反射面的遮挡和馈源的相位中心偏移也直接影响增益，这些也很重要。
抛物面的几何学与焦点特性
先从基础开始请教。抛物面的“抛物面”，为什么能汇聚电波呢？
抛物面在柱坐标 $(r, \phi, z)$ 下可表示为：
这里 $f$ 是焦距。这个抛物面在数学上的重要性质是，从焦点发出的球面波照射到反射面时，所有路径的光程长度相等。也就是说反射后的波前是完美的平面波。
原来如此，因为相位一致所以干涉增强。口径与焦距之比（f/D比）是怎么决定的呢？
$f/D$ 比是最基本的设计参数。总结一下一般范围和特点：
| $f/D$ 范围 | 半张角 $\theta_0$ | 特点 | 用途示例 |
|---|---|---|---|
| 0.25〜0.35 | 90°〜70° | 深碟形。对馈源方向性要求宽松 | 卫星通信地面站 |
| 0.35〜0.50 | 70°〜53° | 最常见。溢出与照射效率平衡良好 | 雷达、VSAT |
| 0.50〜0.80 | 53°〜35° | 浅碟形。交叉极化特性良好 | 射电望远镜 |
半张角 $\theta_0$ 与 $f/D$ 的关系是：
口径效率与子效率分解
经常听到“口径效率”，具体是什么概念呢？
抛物面天线的增益可用下式表示：
这里 $\eta_{ap}$ 是口径效率（aperture efficiency），表示实际增益相对于理想均匀照射增益的比率。这个 $\eta_{ap}$ 可以分解为多个子效率的乘积：
| 符号 | 名称 | 物理意义 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| $\eta_{ill}$ | 照射效率 | 口径面上电场分布的均匀性 | 0.75〜0.85 |
| $\eta_{sp}$ | 溢出效率 | 馈源功率泄漏到反射镜外的损失 | 0.85〜0.95 |
| $\eta_{ph}$ | 相位效率 | 口径面上相位误差引起的损失 | 0.95〜0.99 |
| $\eta_{pol}$ | 极化效率 | 交叉极化分量引起的损失 | 0.95〜0.99 |
| $\eta_{bl}$ | 遮挡效率 | 副反射面及支撑结构的遮挡 | 0.90〜0.98 |
| $\eta_{sf}$ | 表面精度效率 | 镜面制造误差（Ruze公式） | 0.85〜0.98 |
表面精度效率那里，“Ruze公式”是什么样的公式？
Ruze公式是量化反射镜面RMS误差 $\epsilon$ 对增益影响的著名公式：
例如，$\epsilon/\lambda = 1/20$ 时 $\eta_{sf} \approx 0.67$（减少三成）。$\epsilon/\lambda = 1/50$ 时 $\eta_{sf} \approx 0.94$。射电望远镜ALMA要求反射镜RMS精度达到25 μm，原因正在于此，需要维持最短观测波长0.3 mm对应的 $\epsilon/\lambda \approx 1/12$。
支配方程 — 口径面积分与增益
由反射镜口径面上的等效电流，通过口径面积分（aperture integration）计算远场。设口径面上的等效电场分布为 $\mathbf{E}_{ap}(x',y')$，则远场由以下傅里叶变换型积分给出：
这里 $k = 2\pi/\lambda$ 是波数，$A$ 是口径面面积。对于轴对称馈源方向图，这个二维积分可归结为关于 $r$ 的一维积分（贝塞尔函数变换）。增益可表示为：
原来如此，最终只要知道口径面上的电场分布就能计算远场了。如何求得那个“口径面上的电场”，就是不同分析方法的区别所在吧？
正是如此。是用PO法近似求解，还是用FEM精确求解，这个选择取决于“电尺寸”。
抛物面的焦点汇聚——为何非“抛物线”不可捕捉通信卫星
将馈源置于抛物面的焦点时，经镜面反射的电波会作为平行光（平面波）辐射出去。这源于抛物线的定义“焦点到曲线上任一点的距离等于该点到准线的距离”这一性质，从焦点发出的球面波都以相同光程到达镜面，因此相位一致。椭圆面或双曲面单独不具备此性质，因此要高效接收远地点源（卫星），抛物面是基本形式。不过，在卡塞格伦或格里高利结构中，会采用与双曲面/椭圆面副反射面组合的技术来改变等效焦距。
各项的物理意义
- 口径面积分 $\iint_A \mathbf{E}_{ap}\,e^{jk\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'}\,dA'$：将口径面上各点的辐射贡献连同相位一起叠加的傅里叶变换。远场方向图对应于口径面电场分布的傅里叶变换对。均匀分布则为sinc函数型方向图，锥削分布则旁瓣降低。
- 天线增益 $G = \eta_{ap}(\pi D/\lambda)^2$：用 $\eta_{ap}$ 表示相对于理想均匀照射的劣化。$D/\lambda$ 越大增益越高，但同时分析的计算成本也急剧增加。直径1 m的Ku波段天线增益约40 dBi。
- Ruze公式 $\eta_{sf} = \exp[-(4\pi\epsilon/\lambda)^2]$：镜面随机表面误差引起的相位劣化。RMS误差为零的理想面η=1。$\epsilon = \lambda/16$ 时会产生约50%的增益损失。
- 溢出效率 $\eta_{sp}$：馈源喇叭的辐射方向图超出反射镜边缘“溢出”的比例。提高 $\eta_{sp}$（增大边缘锥削）会降低照射效率 $\eta_{ill}$，存在权衡关系。
主要构成及其特点
| 构成 | 副反射面 | 特点 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 主焦点 | 无 | 结构简单，馈源直接置于焦点 | 小型VSAT、家用BS天线 |
| 卡塞格伦 | 双曲面 | 等效焦距增大，馈源可置于顶点附近 | 大型地面站、雷达 |
| 格里高利 | 椭圆面 | 旁瓣控制优异，交叉极化良好 | 射电望远镜、深空通信 |
| 偏置 | 各种 | 无遮挡（$\eta_{bl} \approx 1$），非对称结构 | 星载、地面VSAT |
离散化方法
这个方程，在计算机上实际是怎么求解的呢？
使用有限元法（FEM）进行空间离散化。组装单元刚度矩阵，构建整体刚度方程。
矩阵求解算法
矩阵求解算法，具体是指什么？
通过直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）求解联立方程。对于大规模问题，带预处理的迭代法很有效。
| 解法 | 分类 | 内存使用量 | 适用规模 |
|---|---|---|---|
| LU分解 | 直接法 | O(n²) | 小〜中规模 |
| Cholesky分解 | 直接法（对称正定） | O(n²) | 小〜中规模 |
| PCG法 | 迭代法 | O(n) | 大规模 |
| GMRES法 | 迭代法 | O(n·m) | 大规模・非对称 |
| AMG预处理 | 预处理 | O(n) | 超大规模 |
也就是说，在有限元法环节偷工减料，后面会吃苦头对吧。我铭记在心！
商用工具中的实现
那么，分析抛物面反射镜天线可以用哪些软件呢？
| 工具名 | 开发商/现状 | 主要文件格式 |
|---|---|---|
| Ansys HFSS | Ansys Inc. | .aedt, .hfss |
| CST Studio Suite | Dassault Systèmes SIMULIA | .cst |
| COMSOL Multiphysics | COMSOL AB | .mph |
厂商谱系与产品整合历程
各个软件的诞生过程，是不是还挺有戏剧性的？
Ansys HFSS
接下来是关于Ansys HFSS的内容吧。是什么内容呢？
CST Studio Suite
接下来是关于CST Studio Suite的内容吧。是什么内容呢？
なった
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