库仑定律
库仑定律的理论基础
库仑定律
老师，库仑定律是电磁学的起点吧？
描述两个点电荷之间作用力的最基本法则。
$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m（真空介电常数）。同号为斥力，异号为引力。
与距离的平方成反比……和万有引力形式一样呢。
是的。但电磁力的强度是万有引力的$10^{36}$倍。比较两个电子之间的电磁力和万有引力，电磁力压倒性地强。日常生活中感受不到电磁力，是因为正负电荷几乎完全相互抵消了。
电界（电场）
点电荷 $q$ 产生的电场：
电场是"单位电荷受到的力"。知道电场后，任意电荷 $Q$ 受到的力可以用 $\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$ 计算。
叠加原理
当存在多个电荷时，各电荷产生的电场的矢量和即为总电场。遵循线性原理。
对于连续分布，求和被替换为积分。这是FEM求解静电场的基础。
总结
库仑的扭秤——1785年的惊人精度
库仑在1785年用扭秤验证了逆平方律。这个工具是一根金属细丝通过其扭转角度测量力——一种模拟测量方法。他通过测量带电球之间产生的微小扭转角来读取力值，精度甚至与现代测量仪器相比也令人惊讶。那时还没有欧姆定律、安培定律，人们甚至不知道"电磁力的强度"的定量关系。正是库仑从地道的实验中推导出距离平方反比的关系，才为后来的电磁学理论体系奠定了基础。CAE中理所当然地使用的 $F = kq_1q_2/r^2$ 背后，有这样精密的实验工作。
库仑定律的数值计算方法
静电场的FEM
库仑定律用FEM怎么求解呢？
不直接计算库仑力，而是转化为泊松方程。
$\phi$：电势，$\rho_v$：电荷密度。用FEM求 $\phi$，然后用 $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ 计算电场。
求解泊松方程比直接计算库仑力更高效呢。
直接计算库仑力是$O(N^2)$复杂度，而FEM只需求解稀疏矩阵。BEM（边界元法）对开放空间问题也很有效。
总结
点电荷模型能解的和解不了的
库仑定律数值实现中最容易卡壳的是"点电荷附近"。当距离 $r \to 0$ 时力会无限大，所以FEM或BEM需要将电荷作为有限大小的带电体处理，或者引入特异点处理。实际工作中常见的是"针形电极先端的电场集中导致仿真发散"的问题，现场通常采用"把先端改为微小球体"来逃逸特异性的技巧。理论公式虽然简洁，但"点电荷"这个理想化在数值实现中并不能直接使用，这很有意思。
库仑定律的实务应用
静电场解析的实务
高压设备的绝缘设计、半导体栅极电场、MEMS静电致动器是典型的应用例。
实务检查清单
静电喷涂充分利用库仑力
汽车车身涂装中使用的"静电喷涂"是库仑力的典型实际应用。涂料粒子被赋予负电荷，向接地的车身喷射，由于静电引力，涂料均匀吸附到表面。喷涂难以到达的凹陷部分也会被涂料填满，这都是库仑力的功劳。实际上喷涂效率比普通喷涂高2倍以上。从CAE角度，通过模拟电场分布来提前发现"涂料难以到达的口袋形状"变得越来越普遍。
库仑定律的软件比较
工具
| 工具 | 特点 |
|---|---|
| COMSOL AC/DC | 静电场标准。多物理场耦合 |
| Ansys Maxwell | 3D静电场。电场分布可视化 |
| FEMM | 2D静电场。免费。教育和初期检验用 |
| Elmer | 开源FEM。支持静电场 |
静电场求解器如何处理"无穷远边界"
用商业工具进行静电场解析时，会遇到"如何处理解析域外部"的问题。理论上库仑力到达无穷远，所以把有限的解析域切割下来时需要某种近似。ABAQUS和ANSYS采用在边界配置"无限元素（Infinite Element）"来吸收远场的方法。而COMSOL的"无穷变换"选项在内部自动处理，很方便。工具选型时，看看"这个无穷远处理的精度如何"，能帮你在高精度静电解析时避免后悔。
库仑定律的先端研究
先端技术
库仑常数 $k$ 和真空介电常数——其实已经是定义值
库仑常数 $k \approx 8.99 \times 10^9$ N·m²/C² 实际上与真空介电常数 $\varepsilon_0$ 通过 $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ 联系。有趣的是，2019年SI单位制改革后，$\varepsilon_0$ 不再是测量值而是"定义值"。当基本电荷 $e$ 被严格定义后，库仑常数也固定为精确值了。换句话说，今日CAE中使用的静电解析的基本常数已经不是需要测量的东西，而是人类"决定"的值。物理常数的定义，有点哲学的味道呢？
库仑定律的故障排除
故障排除
"电荷在运动就不是静电场"——边界的甄别方法
库仑力计算中容易踩坑的是"真的能作为静电场处理吗"的判断。比如计算印制电路板导线间的静电力时，实际上有交流信号流动，严格来说是准静电场（时变电磁场）。但如果频率足够低，"静电场近似"就有足够的精度。现场通常用"工作频率的波长 $\lambda$ 与装置大小比，如果装置尺寸 $\lambda/10$ 以下就用静电近似"这样的经验规则。这个判断错了会导致解析模型选型失败，所以是故障排除的第一步要确认的点。
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