库仑定律
理论与物理
库仑定律
老师，库仑定律是电磁学的起点对吧？
描述两个点电荷之间作用力的最基本定律。
$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m（真空介电常数）。同号则为斥力，异号则为引力。
与距离的平方成反比…和重力的形式一样呢。
是的。不过电力比重力强$10^{36}$倍。比较两个电子之间的电力和重力，电力是压倒性的强。日常生活中难以感受到电力，是因为正负电荷几乎完全抵消了。
电场（电场）
点电荷 $q$ 产生的电场：
$$ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}} $$
电场是“单位电荷所受的力”。知道了电场，任意电荷 $Q$ 所受的力就可以用 $\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$ 计算。
叠加原理
存在多个电荷时，各电荷产生的电场的矢量和就是总电场。线性成立。
$$ \mathbf{E}_{total} = \sum_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{r_i^2}\hat{\mathbf{r}}_i $$
连续分布时则替换为积分。这是FEM求解静电场的基础。
总结
- $F \propto q_1 q_2 / r^2$ — 与距离的平方成反比
- 电场 $\mathbf{E}$ — 单位电荷所受的力
- 叠加原理 — 线性是FEM的基础
Coffee Break 闲谈
库仑的扭秤——1785年的惊人精度
库仑在1785年验证了平方反比定律。使用的工具是“扭秤”，一种通过细金属丝的扭转角度来测量力的装置。通过读取带电小球之间微小扭转角度的这种模拟方法，得出了即使与现代测量仪器相比也令人惊讶的高精度结果。当时欧姆定律和安培定律都还不存在，甚至连“电力强度”都还没有被定量认知。库仑通过扎实的实验推导出与距离平方成反比的关系，奠定了后来电磁学理论体系的基础。在CAE中理所当然使用的 $F = kq_1q_2/r^2$ 背后，有着这样工匠般的实验。
各项的物理意义
- 电场项 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$：法拉第电磁感应定律。随时间变化的磁通密度产生电动势。【日常例子】自行车的发电机（发电装置）通过旋转磁铁在附近的线圈中产生电压——这是磁场随时间变化会感应出电场的这个定律的直接应用。IH电磁炉也基于相同原理，高频磁场的变化在锅底感应出涡流，通过焦耳热加热。
- 磁场项 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \partial \mathbf{D}/\partial t$：安培-麦克斯韦定律。电流和位移电流产生磁场。【日常例子】电线通电时周围会产生磁场——这就是安培定律。电磁铁根据此原理工作，通过线圈通电产生强磁场。智能手机的扬声器也是电流→磁场→振膜力的这个定律的应用。在高频（GHz频段天线等）下，位移电流 $\partial D/\partial t$ 变得不可忽视，用于描述电磁波辐射。
- 高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$：表明电荷是电通量的发散源。【日常例子】用垫板摩擦头发会产生静电使头发竖起——带电的垫板（电荷）放射状地发出电力线，对轻的头发施加力。电容器（电容）的设计中，电极间的电场分布用此定律计算。ESD（静电放电）对策也基于高斯定律的电场分析。
- 磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$：表示不存在磁单极子。【日常例子】将条形磁铁切成两半也无法得到只有N极或只有S极的磁铁——N极和S极总是成对存在。这意味着磁力线描绘的是“没有起点和终点的闭合回路”。在数值分析中，为了满足此条件，采用矢量势 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 这种公式化方法，自动保证磁通守恒。
假设条件与适用范围
- 线性材料假设：磁导率·介电常数不依赖于磁场·电场强度（饱和区域需要非线性B-H曲线）
- 准静态近似（低频）：位移电流项可忽略（$\omega \varepsilon \ll \sigma$）。涡流分析中常用
- 2D假设（截面分析）：电流方向均匀，可忽略端部效应时有效
- 各向同性假设：各向异性材料（如硅钢板的轧制方向等）需要定义方向特性
- 不适用的案例：等离子体（电离气体）、超导体、非线性光学材料需要额外的本构关系
点电荷 $q$ 产生的电场：
电场是“单位电荷所受的力”。知道了电场，任意电荷 $Q$ 所受的力就可以用 $\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$ 计算。
存在多个电荷时，各电荷产生的电场的矢量和就是总电场。线性成立。
连续分布时则替换为积分。这是FEM求解静电场的基础。
- $F \propto q_1 q_2 / r^2$ — 与距离的平方成反比
- 电场 $\mathbf{E}$ — 单位电荷所受的力
- 叠加原理 — 线性是FEM的基础
库仑的扭秤——1785年的惊人精度
库仑在1785年验证了平方反比定律。使用的工具是“扭秤”，一种通过细金属丝的扭转角度来测量力的装置。通过读取带电小球之间微小扭转角度的这种模拟方法，得出了即使与现代测量仪器相比也令人惊讶的高精度结果。当时欧姆定律和安培定律都还不存在，甚至连“电力强度”都还没有被定量认知。库仑通过扎实的实验推导出与距离平方成反比的关系，奠定了后来电磁学理论体系的基础。在CAE中理所当然使用的 $F = kq_1q_2/r^2$ 背后，有着这样工匠般的实验。
各项的物理意义
- 电场项 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$：法拉第电磁感应定律。随时间变化的磁通密度产生电动势。【日常例子】自行车的发电机（发电装置）通过旋转磁铁在附近的线圈中产生电压——这是磁场随时间变化会感应出电场的这个定律的直接应用。IH电磁炉也基于相同原理，高频磁场的变化在锅底感应出涡流，通过焦耳热加热。
- 磁场项 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \partial \mathbf{D}/\partial t$：安培-麦克斯韦定律。电流和位移电流产生磁场。【日常例子】电线通电时周围会产生磁场——这就是安培定律。电磁铁根据此原理工作，通过线圈通电产生强磁场。智能手机的扬声器也是电流→磁场→振膜力的这个定律的应用。在高频（GHz频段天线等）下，位移电流 $\partial D/\partial t$ 变得不可忽视，用于描述电磁波辐射。
- 高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$：表明电荷是电通量的发散源。【日常例子】用垫板摩擦头发会产生静电使头发竖起——带电的垫板（电荷）放射状地发出电力线，对轻的头发施加力。电容器（电容）的设计中，电极间的电场分布用此定律计算。ESD（静电放电）对策也基于高斯定律的电场分析。
- 磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$：表示不存在磁单极子。【日常例子】将条形磁铁切成两半也无法得到只有N极或只有S极的磁铁——N极和S极总是成对存在。这意味着磁力线描绘的是“没有起点和终点的闭合回路”。在数值分析中，为了满足此条件，采用矢量势 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 这种公式化方法，自动保证磁通守恒。
假设条件与适用范围
- 线性材料假设：磁导率·介电常数不依赖于磁场·电场强度（饱和区域需要非线性B-H曲线）
- 准静态近似（低频）：位移电流项可忽略（$\omega \varepsilon \ll \sigma$）。涡流分析中常用
- 2D假设（截面分析）：电流方向均匀，可忽略端部效应时有效
- 各向同性假设：各向异性材料（如硅钢板的轧制方向等）需要定义方向特性
- 不适用的案例：等离子体（电离气体）、超导体、非线性光学材料需要额外的本构关系
数值解法与实现
静电场的FEM
库仑定律怎么用FEM求解呢？
不是直接计算库仑定律，而是归结为求解泊松方程。
$\phi$: 电势，$\rho_v$: 电荷密度。用FEM求解$\phi$，再用$\mathbf{E} = -\nabla\phi$计算电场。
解泊松方程更高效呢。
直接的库仑力计算是$O(N^2)$，而FEM只需解稀疏矩阵。BEM（边界元法）对开放空间问题也有效。
总结
- 泊松方程 — 库仑定律的微分形式
- 用FEM求解电势$\phi$ → $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ — 标准方法
- BEM — 对开放空间的静电场有效
点电荷模型能解和不能解的问题
库仑定律数值实现中最容易出问题的是“点电荷的近邻”。当距离 $r \to 0$ 时力会发散到无穷大，所以在FEM或BEM中需要将电荷作为有限尺寸的带电体处理，或者引入奇点处理。实际工作中常见的是“针状电极尖端电场集中导致仿真发散”的问题，现场会使用将尖端建模为微小球体来规避奇点性的技巧。理论公式虽然简单，但在数值实现中“点电荷”这种理想化不能直接使用，这很有意思。
边单元（Nedelec单元）
专用于电磁场分析的单元。自动保证切向分量的连续性，排除伪模式。是3D高频分析的标准。
节点单元
用于标量势公式化。在静磁场的标量势法或静电场分析中有效。
FEM vs BEM（边界元法）
FEM: 对应非线性材料·非均匀介质。BEM: 可自然处理无限域（开域问题）。混合FEM-BEM也有效。
非线性收敛（磁饱和）
用牛顿-拉弗森法处理B-H曲线的非线性。残差标准: $||R||/||R_0|| < 10^{-4}$ 是通用的。
频域分析
通过时间谐波假设归结为稳态问题。需要复数运算，但宽带特性需通过时域分析获取。
时域的时间步长
需要最高频率成分的1/20以下的时间步长。隐式时间积分中可以使用更大的步长但需注意精度。
频域与时域的区分使用
频域分析类似于“将收音机调到特定频率”——可以高效计算单一频率下的响应。时域分析类似于“同时录制所有频道”——可以再现包含所有频率成分的瞬态现象，但计算成本高。
实践指南
静电场分析实务
高压设备的绝缘设计、半导体的栅极电场、MEMS静电致动器是典型的应用案例。
实务检查清单
静电喷涂中充分利用库仑力
用于汽车车身涂装的“静电喷涂”是库仑力实用化的典型例子。将涂料粒子带上负电，吹向接地（接大地）的车身，静电引力会使涂料均匀吸附在表面。涂料能覆盖到容易漏涂的复杂部位也是库仑力的功劳，实际上涂着效率有时能达到普通喷涂的两倍以上。从CAE角度，通过仿真电场分布来提前识别“涂料难以到达的凹陷形状”这种用法在现场日益增多。
分析流程的比喻
电机的电磁场分析类似于“给吉他调音”。调整弦的粗细（线圈匝数）和琴桥的位置（磁铁配置），以引出最美的音色（高效的扭矩特性）。改变一个参数，整体的平衡就会改变——所以参数化研究很重要。
初学者容易陷入的误区
“空气区域？为什么要用网格划分空气？”——这是几乎所有初次接触电磁场分析的人都会有的疑问。答案是“因为磁力线也会扩散到铁芯之外”。如果将分析区域刚好设在铁芯边缘，无处可去的磁通会“撞上”墙壁反射，产生实际中不可能出现的磁通集中。想象一下房间太小，球在墙上弹来弹去的状态。
边界条件的思考方式
远方的边界条件虽然不起眼但超级重要。需要在数值上表达“从这里开始是无限广阔的空间”。如果设置错误，磁通就会像撞上“看不见的墙”一样被反射回来。
软件比较
工具
| 工具 | 特点 |
|---|---|
| COMSOL AC/DC | 静电场的标准。支持多物理场耦合 |
| Ansys Maxwell | 3D静电场。电场分布可视化 |
| FEMM | 2D静电场。免费。用于教育·初步探讨 |
| Elmer | 开源FEM。支持静电场 |
静电场求解器如何处理“无限远边界”
使用商业工具进行静电场分析时，存在“如何处理分析区域外侧”的问题。理论上库仑力作用到无限远，所以要将分析区域截取为有限大小需要某种近似。ABAQUS或ANSYS中使用在边界配置“无限单元”来吸收远场的方法。另一方面，COMSOL内部自动处理“无限变换”的选项很方便。工具选型时，看看“这种无限远处理能达到多高的精度”，在进行高精度静电分析时就不会后悔。
选型时最重要的3个问题
なった
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