電磁力
理论与物理
电磁力基础
老师，电磁力计算是电机设计的核心吧？
电流在磁场中受到的力，即洛伦兹力是出发点。
对于导体中的电流，体积力密度为：
麦克斯韦应力张量怎么用呢？
由磁场能量导出的应力张量：
通过面积分计算力：$F_i = \oint_S T_{ij} n_j \, dS$。另一种方法是虚功原理：$F = -\partial W_m / \partial x$。
总结
- 洛伦兹力 — $\mathbf{f} = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$
- 麦克斯韦应力张量 — 通过面积分计算力
- 虚功法 — 通过能量变化求力的高精度方法
洛伦兹力的发现——力的测量早于电子质量的发现
说到“电磁力”就是洛伦兹力 F = q(E + v × B)，但这个力的定律是在1890年代通过亨德里克·洛伦兹的理论整理而实验确立的。有趣的是，电磁力定律的测量早于电子（J.J.汤姆逊于1897年发现）的存在。在带电粒子的质量和电荷量都未知的阶段，就已经能够定量描述“电流在磁场中受力”这一现象了。这是理论构建先于实体发现的物理学史的典型例子。
各项的物理意义
- 电场项 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$：法拉第电磁感应定律。随时间变化的磁通密度产生电动势。【日常例子】自行车发电机通过旋转磁铁使附近的线圈产生电压——这是磁场随时间变化会感应出电场这一定律的直接应用。IH电磁炉也基于相同原理，高频磁场的变化在锅底感应出涡流，通过焦耳热加热。
- 磁场项 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \partial \mathbf{D}/\partial t$：安培-麦克斯韦定律。电流和位移电流产生磁场。【日常例子】电线通电时周围产生磁场——这就是安培定律。电磁铁根据此原理工作，通过线圈通电产生强磁场。智能手机的扬声器也是应用了电流→磁场→振膜力这一法则。在高频（GHz频段天线等）下，位移电流 $\partial D/\partial t$ 不可忽略，用于描述电磁波辐射。
- 高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v$：表明电荷是电通量的发散源。【日常例子】用垫板摩擦头发会产生静电使头发竖起——带电的垫板（电荷）放射状地发出电力线，对轻的头发施加力。电容器设计中，用此定律计算电极间的电场分布。ESD（静电放电）对策也基于高斯定律的电场分析。
- 磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$：表示不存在磁单极子。【日常例子】将条形磁铁切成两半也无法得到只有N极或只有S极的磁铁——N极和S极总是成对出现。这意味着磁力线描绘的是“没有起点和终点的闭合回路”。在数值分析中，为了满足此条件，采用矢量势 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 的公式化方法，自动保证磁通守恒。
假设条件与适用范围
- 线性材料假设：磁导率·介电常数不依赖于磁场·电场强度（饱和区域需要非线性B-H曲线）
- 准静态近似（低频）：位移电流项可忽略（$\omega \varepsilon \ll \sigma$）。涡流分析中常用
- 2D假设（截面分析）：电流方向均匀且可忽略端部效应时有效
- 各向同性假设：各向异性材料（如硅钢板的轧制方向等）需要定义方向特性
- 不适用的案例：等离子体（电离气体）、超导体、非线性光学材料需要额外的本构关系
数值解法与实现
FEM中的力计算方法
用FEM计算电磁力有多种方法吗？
主要有3种方法。
1. 麦克斯韦应力张量法 — 在气隙中的积分面上计算力。结果依赖于积分面位置，因此取多个面的平均值
2. 虚功法 — 通过物体微小位移时的能量变化计算力。精度最高
3. Arkkio法 — 气隙的体积积分。旋转机械转矩计算的标准方法
JMAG中使用哪种方法？
JMAG中也实现了节点力法。直接计算作用于各节点的电磁力，可作为结构分析的载荷传递。Ansys Maxwell中虚功法是默认方法。
总结
- 麦克斯韦应力 — 简便但依赖积分面
- 虚功法 — 精度高但计算成本大
- Arkkio法 — 旋转机械转矩的标准方法
麦克斯韦应力法还是洛伦兹力法——结果不一致之谜
求解电磁力的方法有“麦克斯韦应力张量法”和“洛伦兹力法（虚功法）”两种，但实际上无论用哪种方法计算，整体力应该是一致的。然而在实际的FEA计算中，结果有时会出现微小差异。原因是网格的粗细，应力张量法对积分面上磁场值的精度敏感，如果气隙面网格较粗就容易产生误差。对策是“在气隙上设置精细的网格层”，这是常规做法，仅此一点就能使两种方法的结果基本一致。
边单元（Nedelec单元）
专用于电磁场分析的单元。自动保证切向分量的连续性，排除伪模式。3D高频分析的标准。
节点单元
用于标量势公式化。在静磁场的标量势法及静电场分析中有效。
FEM vs BEM（边界元法）
FEM: 对应非线性材料·非均匀介质。BEM: 自然处理无限域（开域问题）。混合FEM-BEM也有效。
非线性收敛（磁饱和）
用牛顿-拉弗森法处理B-H曲线的非线性。残差标准: $||R||/||R_0|| < 10^{-4}$ 为一般标准。
频域分析
通过时间谐波假设归结为稳态问题。需要复数运算，但宽带特性需通过时域分析获取。
时域的时间步长
需要最高频率成分的1/20以下的时间步长。隐式时间积分中也可使用更大的步长，但需注意精度。
频域与时域的使用区分
频域分析类似于“调谐收音机到特定频率”——能高效计算单一频率下的响应。时域分析类似于“同时录制所有频道”——能再现包含所有频率成分的瞬态现象，但计算成本高。
实践指南
实践中的力计算
电机的转矩、电磁铁的吸引力、继电器的保持力等，电磁力是执行器设计的关键。
实践检查清单
- [ ] 气隙网格是否足够精细（直接影响转矩精度）
- [ ] 是否用多种力计算方法进行了比较
- [ ] 是否制作了改变电流相位角的转矩特性图
- [ ] 向结构分析传递力的方法（节点力 or 面压）是否合适
- [ ] 是否确认了包含重力·摩擦力的力平衡
变压器“嗡嗡声”的真身——电磁力引起的铁心振动
从街边电线杆变压器传来的“嗡嗡”声，是因为电磁力使铁心以50 Hz的两倍（100 Hz）频率振动。与磁通密度平方成正比的电磁力以正弦波两倍的频率变动，因此铁心以电源频率的两倍伸缩（磁致伸缩）。实践中，将电磁力FEA与结构分析（FEA）耦合来预测振动·噪声，并应用于紧固螺栓位置和防振材料的设计。大型变压器有噪声限制，因此这种电磁-振动耦合分析是重要的设计步骤。
分析流程的比喻
电机的电磁场分析感觉接近于“给吉他调音”。调整弦的粗细（线圈匝数）和琴桥位置（磁铁配置），以引出最美的音色（高效的转矩特性）。改变一个参数，整体平衡就会改变——所以参数化研究很重要。
初学者容易陷入的陷阱
“空气区域？为什么要把空气用网格划分？”——这是几乎所有初次接触电磁场分析的人都会产生的疑问。答案是“因为磁力线也会扩散到铁心之外”。如果分析区域紧贴铁心，无处可去的磁通会“撞上”边界壁反射，产生实际中不可能出现的磁通集中。想象一下房间太小，球在墙上不断弹跳的状态。
边界条件的思考方式
远场边界条件看似不起眼但超级重要。需要在数值上表现“从这里开始是无限广阔的空间”。如果设置错误，磁通就会像有“看不见的墙”一样被弹回。
软件比较
工具
| 工具 | 特点 |
|---|---|
| JMAG | 支持节点力法·Arkkio法。与Nastran/Abaqus耦合 |
| Ansys Maxwell | 麦克斯韦应力+虚功法。与Mechanical耦合 |
| COMSOL AC/DC | 力计算+结构·声学耦合在一个平台完成 |
| Altair Flux | 2D/3D电磁力。支持与Motion耦合 |
电磁力与振动的耦合分析——哪款工具在NVH设计上更强
在电机和执行器的噪声·振动（NVH）设计中，需要电磁力→结构振动→声学的三段耦合分析。ANSYS Mechanical在将电磁力按NODE传递给结构求解器的功能上很充实，结合谐波分析能高效求出各频率的振动响应。Abaqus也有类似的耦合功能，但据现场意见，在后处理中直观地叠加电磁力分布和位移模态的可视化方面，ANSYS更胜一筹。如果重视成本，也有OpenFOAM（电磁）+ Code_Aster（结构）的组合。
选型时最重要的三个问题
- “要解决什么问题”：所需的物理模型·单元类型是否支持。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的对应能力会成为差异点。
- “谁使用”：新手团队适合GUI充实的工具，有经验者适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的AT车（GUI）和MT车（脚本）的区别。
- “扩展到什么程度”：着眼于未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门扩展、与其他工具的联动进行选择，有助于长期的成本削减。
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