洛伦兹力耦合分析——电磁力与结构变形的耦合方法

不不，结构工程师才更应该了解这个主题。例如MRI的超导磁体——励磁时线圈中流过的数百安培电流在强磁场中会受到洛伦兹力，试图使绕组膨胀。这个力能达到数吨，所以必须通过结构分析来评估支撑结构是否能承受。

更贴近生活的例子是变压器的短路事故。短路电流骤增至正常值的10~25倍时，线圈间会瞬间施加数百kN的电磁力。这会导致绕组屈曲或破坏绝缘。电力公司重视“变压器短路耐受试验”正是为此。其他还有直线电机、电磁成形、轨道炮——只要有电流和磁场的地方，就必然存在洛伦兹力。

没错，出发点就是作用在带电粒子上的力。包含电场和磁场的通用形式是这样的：

在CAE处理的导体耦合分析中，我们使用将其扩展到连续体的体积力密度形式。是电流密度 $\mathbf{J}$（A/m²）和磁通密度 $\mathbf{B}$（T）的外积：

对，和重力一样作为体积力进入FEM的右边项。用结构运动方程写出来就是：

这里 $\boldsymbol{\sigma}$ 是应力张量，$\mathbf{f}_{\text{em}} = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$ 是电磁体积力，$\rho$ 是密度，$\ddot{\mathbf{u}}$ 是加速度。静力分析的话右边项为0。粗略来说就是“通过电磁场分析求出 $\mathbf{J}$ 和 $\mathbf{B}$ 并取外积，然后将这个力输入到结构分析中”——这就是洛伦兹力耦合的骨架。

问得好。J × B 只对电流流过的区域定义了力。但是，像永磁体或铁氧体磁芯这样的磁性体，即使没有电流流过也会受到磁场的作用力。这时使用的就是麦克斯韦应力张量：

在物体表面对这个应力张量进行面积分，就能得到作用在物体上的电磁力合力：

理论上，包围物体的任意闭合曲面应该得到相同结果，但数值上会因为网格的粗细程度而变化。实际应用中，将积分面设在离物体表面稍远处的“气隙积分”会更稳定。COMSOL中默认就使用了这种方法。

很敏锐。磁致伸缩（magnetostriction）是与洛伦兹力不同的电磁-结构耦合机制。磁性体被磁化时，伴随着磁畴的旋转，晶格会发生微小变形。变压器的铁芯在50Hz/60Hz的交变磁场下反复伸缩，所以会发出那种嗡嗡声。

磁致伸缩作为应变张量 $\varepsilon^{\text{ms}}$ 进入结构方程：

和热膨胀公式 $\sigma = C(\varepsilon - \alpha \Delta T)$ 结构一样吧？磁致伸缩应变典型量级为 $10^{-6}$〜$10^{-5}$，电工钢板约为 $\lambda_s \approx 5 \times 10^{-6}$。看起来微小，但整个铁芯叠加起来就成了变压器噪音和振动的主要原因。

没错。实际问题中这些机制常常叠加。例如电动马达中，定子绕组受到洛伦兹力的同时，铁芯还会发生磁致伸缩振动。要做噪音分析的话，不考虑两者就无法与实验结果吻合。

多数情况下弱耦合就足够了。像MRI磁体的静态评估、变压器的短路耐受分析等，结构变形微小（毫米量级以下），对电磁场的影响可以忽略。

不过也有需要强耦合的情况。典型例子是电磁成形。这是一种瞬间在铝板上流过涡流，通过与磁场相互作用使其高速变形的加工方法，但变形会导致线圈与被加工材料间的距离改变，磁场分布和电流分布也会发生很大变化。单向耦合会高估力。直线电机的气隙变动问题也是同样道理。

低频电磁场分析中，使用从麦克斯韦方程组中忽略位移电流的准静态近似。用磁矢势 $\mathbf{A}$ 和标量势 $\phi$ 来公式化的A-φ法是标准方法：

$\mu$ 是磁导率，$\sigma$ 是电导率，$\mathbf{J}_s$ 是外部施加的电流密度。由此求出磁通密度 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$，导体中的感应电流密度由 $\mathbf{J} = -\sigma(\partial \mathbf{A}/\partial t + \nabla \phi)$ 得到。这些量的外积就是洛伦兹力。

正是如此。不过有个重要区别。电磁场的FEM中多使用棱边单元（Nedelec单元）。如果用通常的节点单元，磁通密度的切向连续性无法保证。和结构的拉格朗日单元是两回事，所以耦合时需要注意单元类型不同。

主要有3种方法。各有优缺点，根据用途区分使用：

概念是一样的。通过将物体虚拟地微小位移 $\delta s$ 时磁场能量的变化来求力：

像JMAG或Ansys Maxwell这样的工具，会自动用虚功法计算节点力。因为精度和稳定性的平衡很好，所以在扭矩计算等领域是事实上的标准。

这里是耦合分析的关键。网格映射有3种方法：

指电磁侧计算出的合力与传递到结构侧后的合力一致。如果这个被破坏，结构模型中就会凭空产生或消失不存在的力。在变压器短路力分析中，如果力的守恒性偏差超过5%，应力评估在定量上就无法使用，所以传递后一定要养成确认合力的习惯。

这就是瞬态耦合麻烦的地方。电磁场因集肤效应的时间常数（毫秒~微秒）而变化，而结构的固有振动周期是毫秒~秒的量级。时间尺度相差2~3个数量级是常有的事。

有效的对策是子循环。电磁场用细时间步长 $\Delta t_{\text{em}}$ 求解，结构用粗时间步长 $\Delta t_{\text{str}} = n \cdot \Delta t_{\text{em}}$ 求解。力的传递是在结构的每个步长，将该区间的电磁力进行时间平均后传递。变压器短路分析的话，典型做法是电磁场用 $\Delta t = 0.1 \text{ms}$，结构用 $\Delta t = 1 \text{ms}$ 左右来运行。