Vreman模型
理论：在层流中消失的涡粘性
概述
听说LES用Smagorinsky模型时，壁面附近的流动不容易转捩。
Smagorinsky模型只根据应变率大小确定涡粘性。壁面附近的层流和转捩前的边界层也有剪切，所以在没有湍流的地方也加入了粘性。结果湍流萌芽被抑制，转捩推迟，壁面摩擦偏大。为此一直使用随离壁距离调整系数的衰减函数，或由流动确定系数的动态模型。Vreman模型通过巧妙组合速度梯度，使简单剪切时自动为0，计算与Smagorinsky一样简单。
Vreman模型公式
Δ为网格宽度。B_β为矩阵β的二阶不变量，速度梯度α只有一个方向的分量（矩阵秩为1）时为0。为便于比较也列出了Smagorinsky公式。
为在层流中为0而设计的模型
Vreman在2004年的论文中，按速度梯度分量的组合对流动分类，证明在剪切层等许多非湍流流动中涡粘性为0。并强调该模型是局部计算，不需要动态过程那样的平均。但并非所有层流都为0，之后Nicoud等人于2011年提出的σ模型改进为在刚体旋转和轴对称扩张中也为0。
算例
例1：典型流动中的涡粘性（Δ = 1 mm、速度梯度100 1/s、Cs = 0.17、c = 0.072）
| 流动 | Smagorinsky | Vreman | 与空气运动粘度之比（S / V） |
|---|---|---|---|
| 简单剪切 | 2.9×10⁻⁶ | 0 | 0.19 / 0 |
| 剪切＋10%横向分量 | 2.9×10⁻⁶ | 7.2×10⁻⁷ | 0.19 / 0.05 |
| 平面应变 | 5.8×10⁻⁶ | 5.1×10⁻⁶ | 0.39 / 0.34 |
| 轴对称应变 | 5.0×10⁻⁶ | 4.4×10⁻⁶ | 0.33 / 0.29 |
| 刚体旋转 | 0 | 5.1×10⁻⁶ | 0 / 0.34 |
| 各向同性随机（2万个平均） | 3.2×10⁻⁶ | 3.1×10⁻⁶ | 0.21 / 0.21 |
单位为m²/s，空气运动粘度取1.5×10⁻⁵ m²/s。各向同性湍流中两者之比为0.97，说明c = 2.5·Cs²是为得到大致相同强度而选取的。
例2：近壁层流剪切
| 壁面剪切率 | Smagorinsky | Vreman |
|---|---|---|
| 100 1/s | 2.9×10⁻⁶（空气的19%） | 0 |
| 1,000 1/s | 2.9×10⁻⁵（空气的193%） | 0 |
剪切1,000 1/s时，Smagorinsky加入的粘性接近空气本身粘度的2倍。
对。网格宽1 mm不变时，壁面附近本应是层流的部分被当作粘度为实际2～3倍的流体计算。湍流萌芽被压制，边界层不转捩，分离位置也会变化。实际计算中网格向壁面加密，数值会变小，但没有衰减函数时壁面摩擦仍容易偏大。Vreman在此例中为0，不需要衰减函数。但如表中刚体旋转所示，它在非湍流的旋转流中也会产生粘性。在旋转容器内或涡核处需注意，这类流动中与σ模型或WALE模型比较会有帮助。
使用方法
- 系数从c = 2.5·Cs²开始（Cs = 0.17时约0.07）。
- 不加壁面衰减函数（模型本身在近壁变小）。
- 在层流与转捩混合的流动中确认与Smagorinsky的差别。
- 旋转流或涡核处，与σ模型等比较涡粘性分布。
- 改变网格确认结果收敛。
“机翼上不转捩的LES”
某低雷诺数机翼的LES使用Smagorinsky模型时，没有出现实验中前缘附近的分离泡和再附着，流动保持层流大范围分离，升力偏低。原因是前缘附近的层流剪切中加入了多余的涡粘性，使分离剪切层的转捩推迟。换成Vreman模型后形成了分离泡并再附着，升力接近实验值，计算时间几乎不变。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 把Cs直接当作c | 粘性相差2倍以上 | c = 2.5·Cs² |
| 叠加衰减函数 | 近壁粘性不足 | 不加 |
| 在旋转流中过度信任 | 多余的粘性 | 与σ模型比较 |
| 网格过粗 | 模型依赖性大 | 加密网格 |
| 直接使用负的B_β | 开方出错 | 截断为0 |
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相关页面参考Smagorinsky模型、动态Smagorinsky模型、WALE模型、σ模型和LES基础。
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错误