圆柱绕流
理论与物理
概述
老师，圆柱绕流不就是风吹到柱子上那么简单吗？
看起来简单，但流动结构会随雷诺数发生剧变。从定常对称分离到卡门涡街，再到湍流转捩，这是流体力学教科书上必有的经典且本质的问题。
卡门涡街，就是那个涡交替出现的现象吧。为什么会交替出现呢？
当雷诺数超过约47时，尾流的对称性会变得绝对不稳定。一侧的分离剪切层卷入另一侧的涡量，从而产生反馈回路，导致涡上下交替脱落。这就是贝纳德-冯·卡门涡街。
雷诺数对流动的分类
雷诺数的影响范围有多大呢？
整理后如下。
| 雷诺数范围 | 流动状态 | 特征 |
|---|---|---|
| Re < 5 | 蠕动流 | 前后对称，无分离 |
| 5 < Re < 47 | 定常双涡 | 形成对称的再循环区域 |
| 47 < Re < 190 | 二维卡门涡街 | 周期性涡脱落，层流 |
| 190 < Re < 260 | 三维转捩（Mode A/B） | 出现展向不稳定性 |
| 260 < Re < 1000 | 湍流转捩区 | 尾流湍流化，分离点仍为层流 |
| $10^3$ < Re < $3 \times 10^5$ | 亚临界区 | 层流分离，$C_D \approx 1.2$ |
| $3 \times 10^5$ < Re < $10^6$ | 临界区（阻力危机） | 转捩在分离前发生，$C_D$ 急剧下降 |
| Re > $10^6$ | 超临界区 | 湍流边界层分离 |
Re = 47 就开始出现涡街了吗？比想象中要低呢。
是的。这个阈值对应着霍普夫分岔。通过线性稳定性分析精确计算临界雷诺数，可以得到 $Re_{cr} \approx 46.7$ 这个值。
控制方程
那么请告诉我控制方程。
是不可压缩纳维-斯托克斯方程。
这里 $\nu = \mu / \rho$ 是运动粘度，$\mathbf{u}$ 是速度矢量，$p$ 是压力。无量纲化后，雷诺数 $Re = U_\infty D / \nu$ 成为唯一的控制参数。
斯特劳哈尔数与涡脱落频率
涡的脱落频率可以预测吗？
可以用斯特劳哈尔数来整理。
在亚临界区（$300 < Re < 3 \times 10^5$），$\mathrm{St} \approx 0.2$ 几乎为恒定值。这是罗什科实验中确认的著名结果。在低雷诺数侧，常使用以下经验公式作为雷诺数的函数。
阻力·升力系数
请让我也确认一下阻力系数的定义。
单位展长上的定义是这样的。
$$ C_D = \frac{F_D}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2 D}, \quad C_L = \frac{F_L}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2 D} $$
定常流的 $C_D$ 随雷诺数变化很大。在斯托克斯区，$C_D \propto Re^{-1}$；在亚临界区，$C_D \approx 1.0 \text{--} 1.2$；在临界区，$C_D$ 下降到约 $0.3$；在超临界区，又回升到约 $C_D \approx 0.6 \text{--} 0.7$。
升力是和涡脱落频率相同的频率在脉动吗？
升力的脉动频率就是涡脱落频率 $f$。另一方面，阻力的脉动频率是 $2f$。这是因为上下交替脱落的每个涡都会引起阻力增减，而升力则在一侧涡脱落时正负反转。
阻力是 $2f$ 这一点很有趣呢。听您这么一说，确实是这样。
Coffee Break 闲谈
卡门涡与烟囱倒塌——斯特劳哈尔数如何保护建筑物
圆柱尾流中产生的卡门涡街，有时会引发严重的工程问题。当涡脱落频率（$f = St \cdot U/D$）与结构物的固有振动频率一致时，会发生共振，导致振动放大。1965年英国费里布里奇发电站三座冷却塔连续倒塌的事故，也被判定为卡门涡引起的涡激振动所致。CFD能否精确计算斯特劳哈尔数，直接影响到烟囱、桥桁、海洋立管等设计的成本（或安全性）。“在Re≈100时，即使是二维层流CFD也能出现卡门涡”这一点，可以作为验证代码动态行为的基准。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅降低，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体的运动携带物体的效果。暖风的暖气能到达房间另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快时此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动携带，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，雷诺数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中如果忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天房间里开了暖气，暖空气却不上浮，这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- 布西内斯克近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
变量 SI单位 注意事项·换算备忘 速度 $u$ m/s 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 压力 $p$ Pa 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 密度 $\rho$ kg/m³ 空气：约1.225 kg/m³@20°C，水：约998 kg/m³@20°C 粘度系数 $\mu$ Pa·s 注意与运动粘度系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 雷诺数 $Re$ 无量纲 $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 CFL数 无量纲 $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性
请让我也确认一下阻力系数的定义。
单位展长上的定义是这样的。
定常流的 $C_D$ 随雷诺数变化很大。在斯托克斯区，$C_D \propto Re^{-1}$；在亚临界区，$C_D \approx 1.0 \text{--} 1.2$；在临界区，$C_D$ 下降到约 $0.3$；在超临界区，又回升到约 $C_D \approx 0.6 \text{--} 0.7$。
升力是和涡脱落频率相同的频率在脉动吗？
升力的脉动频率就是涡脱落频率 $f$。另一方面，阻力的脉动频率是 $2f$。这是因为上下交替脱落的每个涡都会引起阻力增减，而升力则在一侧涡脱落时正负反转。
阻力是 $2f$ 这一点很有趣呢。听您这么一说，确实是这样。
卡门涡与烟囱倒塌——斯特劳哈尔数如何保护建筑物
圆柱尾流中产生的卡门涡街，有时会引发严重的工程问题。当涡脱落频率（$f = St \cdot U/D$）与结构物的固有振动频率一致时，会发生共振，导致振动放大。1965年英国费里布里奇发电站三座冷却塔连续倒塌的事故，也被判定为卡门涡引起的涡激振动所致。CFD能否精确计算斯特劳哈尔数，直接影响到烟囱、桥桁、海洋立管等设计的成本（或安全性）。“在Re≈100时，即使是二维层流CFD也能出现卡门涡”这一点，可以作为验证代码动态行为的基准。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水流会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本会大幅降低，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体的运动携带物体的效果。暖风的暖气能到达房间另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快时此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动携带，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，雷诺数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。水坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中如果忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天房间里开了暖气，暖空气却不上浮，这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- 布西内斯克近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气：约1.225 kg/m³@20°C，水：约998 kg/m³@20°C |
| 粘度系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘度系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值解法的选择
用CFD求解圆柱绕流时，该用什么方法呢？
最优方法随雷诺数变化。整理后如下。
| 雷诺数范围 | 推荐方法 | 理由 |
|---|---|---|
| Re < 200 | DNS（直接数值模拟） | 二维计算已足够，可解析所有尺度 |
| 200 < Re < 1000 | DNS (3D) | 需要解析三维不稳定性 |
| $10^3$ < Re < $10^4$ | LES | 直接解析尾流的湍流结构 |
| $10^4$ < Re < $10^6$ | URANS / DES / DDES | LES解析壁面的成本过高 |
| Re > $10^6$ | RANS (SST $k$-$\omega$) | 工程精度足够时使用 |
用DNS全部求解不就好了吗？
高雷诺数的DNS所需网格点数按 $Re^{9/4}$ 比例增长。Re=$10^6$ 时需要 $10^{13}$ 个点以上，即使使用现在的超级计算机也不现实。
压力-速度耦合
对于不可压缩的情况，压力怎么求解呢？
不可压缩纳维-斯托克斯方程需要求解压力的泊松方程。代表性的方法如下。
- SIMPLE法: Patankar的半隐式方法。适用于定常计算。通过迭代求压力修正值
- PISO法: 适用于非定常计算。在一个时间步长内进行两次压力修正
- 耦合型求解器: 同时求解速度和压力。收敛快但内存消耗大
- 分离型（Fractional Step）: 先求中间速度，再用压力泊松方程修正。
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