射流（喷流）
理论与物理
概述
老师，射流简单来说就是从喷嘴喷出的流动对吧？
没错。射流（jet）是从喷嘴或孔口向周围流体中释放的流动。工业应用非常广泛。从喷气发动机排气、焊接炬、空调出风口、化工厂的混合器，到喷墨打印机。
从流体力学角度看，射流是自由剪切流（free shear flow）的典型例子，与混合层和尾流并列，是湍流的基本研究对象。
射流的分类
射流也有种类吗？
按几何形状分类如下。
| 种类 | 形状 | 自相似区域的速度衰减 | 扩展率 |
|---|---|---|---|
| 轴对称圆形射流 | 圆形喷嘴 | $u_c / U_0 \propto (x/D)^{-1}$ | $\delta / x \approx 0.10$ |
| 平面射流 | 狭缝喷嘴 | $u_c / U_0 \propto (x/h)^{-1/2}$ | $\delta / x \approx 0.11$ |
| 矩形射流 | 矩形喷嘴 | 近场类似平面射流，远场类似轴对称射流 | 取决于长宽比 |
轴对称射流的速度衰减更快呢。
是的。轴对称射流因为卷吸（周围流体的卷入）发生在全周方向，所以动量扩散得更快。
射流的区域结构
我们来整理一下圆形射流从上游开始的结构。
1. 势核区域 ($0 < x < x_c$): 喷嘴出口速度 $U_0$ 在中心得以维持。$x_c \approx 4\text{--}6D$
2. 过渡区域 ($x_c < x < 20D$ 程度): 中心速度开始衰减
3. 自相似区域 ($x > 20\text{--}30D$): 速度剖面呈现自相似形状
势核长度取决于入口的湍流强度。湍流强度越高，势核越短。
自相似解
请告诉我自相似解的具体形式。
在轴对称射流的自相似区域，时均速度剖面具有以下形式。
中心速度的衰减由动量守恒推导得出。
这里 $B_u \approx 5.8\text{--}6.2$ 是实验常数，$x_0$ 是虚拟原点。在 Gaussian 剖面假设下，
$B_u$ 的值好像不同研究者给出的略有不同呢。
这是因为其依赖于初始条件（喷嘴出口的边界层厚度、湍流强度、速度剖面形状）。Hussein et al. (1994) 的精密测量报告了 $B_u = 5.8$，Panchapakesan & Lumley (1993) 则报告了 $B_u = 6.06$。
动量守恒
射流中动量是守恒的对吧？
当周围是静止流体时，轴向动量通量保持恒定。
$$ J = 2\pi \int_0^\infty \rho \bar{u}^2 r \, dr = \frac{\pi}{4} \rho U_0^2 D^2 $$
射流中动量是守恒的对吧？
当周围是静止流体时，轴向动量通量保持恒定。
由这个关系和自相似剖面的假设，可以推导出 $u_c \propto x^{-1}$ 和 $\delta \propto x$。
射流理论的确立——从普朗特的混合长理论到湍流射流
自由射流（Free Jet）的理论分析是基于Prandtl(1925)的混合长理论发展起来的。对于圆形自由射流，中心轴速度Uc随距喷口距离x按Uc ∝ x⁻¹衰减，半值半径则按入口直径的约0.1倍递增，这一相似律成立。1950〜60年代，Tolmien、Görtler等人推导出了精确的解析解，随后Wygnanski & Fiedler(1969)的精密实验证实了湍流射流的自相似性。这一自相似性（Self-Similarity）的发现成为了现代RANS模型调参的基准，k-ε模型常数Cμ=0.09也是基于此实验数据确定的，有其历史渊源。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。一开始水流会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定的水流，对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够长时间流动稳定下来之后”——也就是令此项为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体运动搬运物质的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送了热量。这里有趣的是——这项包含了“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速越快，这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多吧？”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置不管的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘性（$\mu$）高，所以不易流动。粘性越大，扩散项越强，流体的运动就越“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。大坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”通常指表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：受热的空气会上升——为什么？因为比周围更轻（密度更低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶的火焰产生化学反应热、工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项来表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——就像冬天在房间里开了暖气，暖空气却不上浮，得到这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 从入口条件的体积流量换算时，注意截面面积的单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值方法的选择
射流的CFD通常使用哪些方法？
射流是自由剪切流，无需解析壁面，因此与LES的相性很好。
| 方法 | 适用场景 | 备注 |
|---|---|---|
| RANS ($k$-$\varepsilon$) | 预测时均扩展率 | 注意圆形射流异常（round jet anomaly） |
| RANS (SST $k$-$\omega$) | 一般的工程计算 | 比 $k$-$\varepsilon$ 能更合理地预测射流扩展 |
| LES | 射流噪声、混合过程的细节 | 入口条件的设定很重要 |
| DNS | 低Re射流的基础研究 | Re < $10^4$ 左右是极限 |
圆形射流异常
圆形射流异常是什么？
标准 $k$-$\varepsilon$ 模型能很好地预测平面射流的扩展率，但对轴对称射流扩展率的预测会偏大约 $40\%$。这是由于 $C_{\varepsilon 1}$ 常数的问题，平面射流和轴对称射流不能使用相同的常数。
对策包括：
- 将 $C_{\varepsilon 1}$ 从 $1.44$ 改为 $1.60$（Pope 修正）
- 使用 SST $k$-$\omega$ 模型（改善了射流扩展的预测）
- 使用 Realizable $k$-$\varepsilon$ 模型（$C_{\mu}$ 变为变量，改善了射流中的表现）
入口条件的设定
喷嘴出口的速度分布应该如何设定？
用LES求解射流时，入口条件对结果影响很大。
- 均匀流剖面（top-hat）: 最简单但不真实。因为没有喷嘴出口的边界层，初始剪切层的发展会改变
- 管流剖面: $u(r) = U_c (1 - (r/R)^n)$。通常取 $n=7$（湍流1/7次方律）
- 包含喷嘴内部的计算: 最准确。直接求解喷嘴内的边界层发展
湍流脉动的注入也很重要。方法包括：
- 合成湍流生成法（SEM: Synthetic Eddy Method）: Jarrin et al. (2006)
- 循环法: 从喷嘴内的截面回收数据循环使用
- 数字滤波法: Klein et al. (2003)
看来仅仅指定湍流强度是不够的呢。
对于RANS，在入口指定 $k$ 和 $\varepsilon$（或 $\omega$）就足够了。但对于LES，如果在入口不给予具有空间和时间相关性的脉动速度场，就会产生非物理的适应区域，导致势核长度发生偏移。
网格设计
射流网格需要注意什么？
以下几点很重要。
- 喷嘴出口附近的剪切层: 需要喷嘴唇厚 $1/10$ 以下的网格。为了解析剪切层的初始不稳定性
- 轴向区域长度: 如果想看到自相似区域，需要 $30D$ 以上。噪声分析则需要 $50D$ 以上
- 径向: 射流边界外侧也需要确保足够的区域（$10D$ 以上）
- 卷吸边界: 侧面边界应设定压力条件（允许卷吸）。固定流速不可取
侧面如果设为壁面，流体就无法流入，卷吸就被阻碍了是吧。
没错。如果侧面的压力条件不正确，喷嘴附近会产生非物理的低压区，影响射流的扩展。
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