可实现k-ε模型
可实现k-ε的理论基础
概要
可实现k-ε模型就是「可实现的」k-ε，那什么是可实现的呢？
由Shih et al.（1995）提出的模型。「可实现」是指满足雷诺应力张量的物理一致性条件（realizability constraints）。具体来说，就是法向雷诺应力为非负（$\overline{u_\alpha'^2} \geq 0$），且满足施瓦茨不等式（$\overline{u_\alpha' u_\beta'}^2 \leq \overline{u_\alpha'^2}\cdot\overline{u_\beta'^2}$）。
标准k-ε会破坏这个条件吗？
会的。标准k-ε中$C_\mu = 0.09$是常数，在应变速率非常大的区域（例如旋转流的中心），法向应力会变成负值。这在物理上是不可能的。
输运方程
$k$ 方程与标准k-ε相同，但 $\varepsilon$ 方程差异很大。
这里重要的是$C_1$的定义。
可变 $C_\mu$
$C_\mu$变成变量是最大的特点吧？
正是如此。在可实现模型中，涡粘性定义为：
其中$U^* = \sqrt{S_{ij}S_{ij} + \tilde{\Omega}_{ij}\tilde{\Omega}_{ij}}$，$A_0 = 4.04$，$A_s = \sqrt{6}\cos\phi$（$\phi$从应变速率张量的第三不变量计算）。
也就是说，应变速率增大时，$C_\mu$会自动减小？
正是这样。在旋转流的中心，$S$较大，所以$C_\mu$减小，能够抑制对湍流能量的过度预测。在静息流动（$S k/\varepsilon \to 0$）中，$C_\mu \to 1/A_0 \approx 0.25$，但在常见的剪切流中，$C_\mu$约为0.09，与标准k-ε相符。
模型常数
| 常数 | 数值 |
|---|---|
| $C_2$ | 1.9 |
| $\sigma_k$ | 1.0 |
| $\sigma_\varepsilon$ | 1.2 |
| $A_0$ | 4.04 |
可实现k-ε模型有什么弱点吗？
$\varepsilon$ 方程的源项中含有$\sqrt{\nu\varepsilon}$，即使$\varepsilon \to 0$也能避免奇异性。但是，在使用多重参考系的多区域计算中，会产生非物理的湍流粘性。Fluent的修正版本（针对滑移网格的补正）已经解决了这个问题。
「可实现」的含义——保护平凡的苦恼
可实现k-ε中的「可实现（Realizable）」一词意味着满足湍流的数学约束——法向应力的非负性和施瓦茨不等式。实际上标准k-ε并不总是满足这些约束，在强剪切流中可能会预测到非物理的负法向应力。Shih et al.（1994）表明「仅仅遵守这些平凡的物理约束就能大幅改进模型」。压缩、膨胀和分离流中，可实现k-ε成为k-ε系列的标准选择，原因就在于这一「平凡的保证」。
可实现k-ε的数值计算方法
离散化的注意事项
可实现k-ε的数值处理和标准k-ε有不同的地方吗？
$\varepsilon$ 方程的形式不同，所以源项的线性化需要注意。特别是分母中的$k + \sqrt{\nu\varepsilon}$很重要，它确保即使在$k \to 0$的区域（壁面极近处或非湍流区），也不会出现除以零的情况。
离散化格式的推荐与标准k-ε相同。
| 项 | 推荐格式 |
|---|---|
| 对流项 | 二阶迎风 |
| 扩散项 | 中心差分 |
| 时间项 | 二阶隐式 |
$C_\mu$ 的数值计算
$C_\mu$依赖于流场，那每次迭代都要重新计算吗？
是的。每个单元需要计算$S_{ij}$和$\Omega_{ij}$，然后算出$U^*$和$\phi$来更新$C_\mu$。计算成本比标准k-ε略有增加，但不会有很大差异，因为不需要求解额外的输运方程。
Ansys Fluent
```
Models → Viscous → k-epsilon → Realizable
Near-Wall Treatment → Enhanced Wall Treatment（推荐）
```
Fluent中可实现模型是k-ε的默认推荐。与Enhanced Wall Treatment相结合，可以放宽$y^+$的限制。
OpenFOAM
在constant/turbulenceProperties中指定以下内容。
```
RAS
{
RASModel realizableKE;
turbulence on;
printCoeffs on;
}
```
STAR-CCM+
K-Epsilon Turbulence → Realizable K-Epsilon Two-Layer。两层模型通常与All y+ Wall Treatment结合使用。
收敛性比较
与标准k-ε相比收敛性会变差吗？
一般来说可实现k-ε的收敛性更好。因为$C_\mu$是可变的，非物理的$\mu_t$爆炸得到了抑制。不过，如果初期数十次迭代中$C_\mu$变化很大，就可能出现不稳定。此时可以将湍流粘性比的松弛因子降到约0.8。
可实现k-ε成为汽车外部空气动力学主角的过程
自2000年代以来，汽车制造商的CFD部门都将可实现k-ε作为外部空气动力学分析的标准模型。原因之一是对A柱附近的分离和重新附着以及后视镜下游的再循环的预测精度高于标准k-ε。有OEM设计团队在相同网格和设置下比较了4种模型，发现可实现k-ε对风洞实验值的阻力系数预测差异最小，之后被采用到随后的设计循环中。这样的案例报告了多次。即使在今天，ANSYS Fluent入门讲座中也会强调「外部空气动力学就从可实现k-ε开始」。
可实现k-ε的实务应用
应用指南
请教我可实现k-ε模型的最优使用方法。
以下是可实现k-ε的适用领域。
- 旋转流：旋风分离器、旋转燃烧器、混合器
- 流道急扩与急缩：扩散管、阀门流
- 喷流扩散：圆形喷流的扩散率比标准k-ε预测更精确
- 后流：圆柱后流的涡脱频率
与SST k-ω应该如何选择呢？
判断标准如下。
| 流动特征 | 推荐模型 |
|---|---|
| 壁面边界层分离很重要 | SST k-ω |
| 旋转流是支配性的 | 可实现k-ε |
| 自由剪切流（喷流、混合层） | 可实现k-ε |
| 外部空气动力学（翼型、车体） | SST k-ω |
| 内部流动（管道、风道） | 两者皆可 |
网格策略
可实现模型中的网格制作与标准k-ε相同吗？
使用壁函数时$y^+ = 30\sim300$。Enhanced Wall Treatment时$y^+ \approx 1$，壁面需要精细分辨。可实现强于旋转流，所以旋转中心轴附近的网格分辨率也很重要。从旋转轴中心到壁面最好确保至少20～30个单元。
检验用基准
有什么基准问题可用于检验模型的合理性吗？
列举一些代表性的。
| 基准 | 检验项 | 参考数据 |
|---|---|---|
| 向后台阶流 | 重新附着长度 | Driver & Seegmiller (1985) |
| 圆柱后流 | St数、$C_D$ | Roshko实验数据 |
| 旋转流（TECFLAM） | 速度、湍流轮廓 | DLR实验数据 |
| 平面喷流 | 扩散率 | Bradbury (1965) |
| 圆形喷流 | 扩散率、中心线衰减 | Hussein et al. (1994) |
喷流分析中的「旧来诅咒」——模型解放的故事
湍流建模历史上的难题之一就是「平面喷流与圆形喷流的扩散率同一模型无法再现」。标准k-ε过度评估平面喷流的扩散率，低估圆形喷流的扩散率，是一个二律背反。可实现k-ε通过可变C_μ大幅缓解了这个问题，两种喷流形状的扩散率都能接近实验值。排气管道设计和冷却喷流的CAE分析推荐使用可实现k-ε的背景中，有这一「喷流问题的解决」这样的历史背景。
可实现k-ε的软件比较
求解器间的实现差异
可实现k-ε的实现在求解器间有差异吗？
基本方程相同，但壁面处理和辅助模型的实现有差异。主要差异总结如下。
| 项 | Fluent | CFX | STAR-CCM+ | OpenFOAM |
|---|---|---|---|---|
| 模型名称 | Realizable k-ε | N/A（无直接对应） | Realizable K-Epsilon | realizableKE |
| 壁面处理 | Enhanced WT推荐 | Scalable WF | All y+ WT | nutk系WF |
| 两层模型 | 可选 | 标准 | 标准 | 需定制 |
| 旋转系统补正 | 自动 | 自动 | 手动选择 | 需实现 |
CFX中没有可实现k-ε吗？
CFX有自己的k-ε模型（基于可扩展壁函数），但Shih et al.的可实现定式在默认状态下并未配置。CFX强烈推荐使用SST k-ω代替。
多区域问题的注意事项
旋转机械分析中使用可实现k-ε的注意事项是什么？
在MRF（多参考框架）或滑移网格分析中，旋转坐标系中科里奥利力的处理需要注意。可实现模型的$C_\mu$使用绝对坐标系中的$\Omega_{ij}$，如果旋转系统中的表观涡度混入，就会导致非物理结果。Fluent已实现了这个补正，但其他求解器需要核实。
许可证与成本比较
哪个求解器的成本效益最好？
湍流模型本身在所有求解器中都可无需额外许可证使用。选择标准应基于整体工作流而非模型本身。OpenFOAM是免费的，但支持、GUI和自动网格生成可能需要额外成本。
STAR-CCM+ vs Fluent——可实现k-ε壁处理的微妙差异
可实现k-ε在主要求解器中名称统一，但壁近处理略有不同。STAR-CCM+的"两层All y+ 壁处理"默认支持y+=1程度的精细网格。而Fluent旧版本以标准壁函数为前提，y+<30时精度下降。同样是「可实现k-ε」，壁处理差异会导致压力损失相差5～15%。在项目迁移时一定要确认壁面处理设置。实际上，因未注意到这一点而困扰2周的设计师故事在业界屡见不鲜。
可实现k-ε的先进研究
与非线性涡粘性模型的关联
可实现k-ε之后还有什么模型？
可实现k-ε的可变$C_\mu$还是线性涡粘性框架内的改进。其先是非线性涡粘性模型（NLEVM）。
通过此方式，二次流动预测（如风道内二次流）能得到改善。但实现复杂，收敛困难，在工业中还未广泛应用。
可实现性条件的数学背景
能更严密地解释可实现性条件吗？
雷诺应力张量$R_{ij} = \overline{u_i'u_j'}$必须是半正定的。即所有特征值非负。用Boussinesq假设表示：
如果$\nu_t S$超过$k/3$，法向应力之一会变成负数。为防止这种情况：
这正是可实现模型的$C_\mu$定义式。它从物理约束中数学推导，这正是其优雅之处。
与混合RANS/LES的接续
以可实现k-ε为基础的DES类模型有吗？
Fluent等中可选择可实现k-ε作为DES（分离涡模拟）的基础模型。此时，壁面附近为RANS（可实现k-ε），离壁远的区域表现为LES。
将$\varepsilon$方程中的散逸项修改，用基于网格宽度$\Delta$的亚格子散逸代替。
什么时候会进行DES化？
在大规模非定常分离支配的流动（如车体后流、建筑周围风等）中DES是有效的。但网格要求会大幅严格，所以应该先用RANS掌握全局，再考虑DES化。
可实现k-ε与LES结果的桥梁——混合分析的尝试
近年，利用LES（大涡模拟）结果作为「教师数据」重新调优RANS模型的研究日益盛行。其中选择可实现k-ε作为基础的比例在上升。原因在于可变C_μ具有灵活的结构，能根据局部流动状态变化，便于机器学习中加入修正系数。「LES求精度，RANS求成本」的混合湍流模型未来会更加受关注。可实现k-ε作为其基础的前景看好。
可实现k-ε的故障排除
典型问题
可实现k-ε容易遇到什么问题？
1. 旋转区域中的非物理湍流粘性
症状：MRF或滑移网格界面附近$\mu_t/\mu$超过$10^5$。
原因：旋转坐标系中的涡度包含帧旋转分量，$C_\mu$计算中$U^*$被过度评估。
对策：
- Fluent中确认
/define/models/viscous/turbulence-expert/turb-non-newtonian no - 旋转系坐标变换设置正确与否
- 界面附近网格品质的改进
2. $\varepsilon$ 方程中$\sqrt{\nu\varepsilon}$项的表现
分母中有$k + \sqrt{\nu\varepsilon}$，数值上会有问题吗？
症状：在非常低的雷诺数区域$\varepsilon$收敛缓慢。
原因：在$k \to 0$的区域中$\sqrt{\nu\varepsilon}$项占优，方程的性质发生变化。
对策：
- 将$k$和$\varepsilon$的松弛因子降至约0.6
- 低雷诺数区域很大时考虑使用SST k-ω
3. 喷流/混合层的非对称解
对称问题为什么会出现非对称解？
症状：轴对称喷流分析中，即使足够迭代，解也呈非对称。
原因：网格微小的非对称性与可实现模型的非线性结合，导致进入分支解。
对策：
- 严格确保网格对称性（使用镜像网格）
- 可能的话用2D轴对称求解
- 初始条件对称设置
4. 从标准k-ε切换时的注意
现有标准k-ε计算切换到可实现k-ε时的注意？
步骤：
1. 以标准k-ε收敛解作为初始条件（是很好的起点）
2. 模型改为可实现k-ε
3. 最初100次迭代松弛因子偏低（$k$, $\varepsilon$: 0.6）
4. 残差稳定后恢复松弛因子
5. 充分迭代得到新的定常解
因为$C_\mu$在各单元变化，$\mu_t$分布改变，速度场也会改变。定性的流动模式可能改变，需谨慎验证结果。
可变C_μ趋向零——可实现模型意外的数值问题
可实现k-ε的可变C_μ随流动的应变和涡度大小变化，在强旋转流（如泵叶间流）中C_μ会变得非常小，涡粘性实质接近零。此时缺乏湍流扩散，数值噪声残留，收敛恶化。对策是在求解器选项中设定C_μ的下限值（limiter），但这个值的选择没有绝对答案，实务中的做法是「收敛后就用这个值」。理论优美的模型，实现和运用中也免不了泥沙俱下。
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