DEM-CFD連成
理论与物理
概述
老师，DEM-CFD耦合是什么？是把粒子和流体一起计算吗？
没错。DEM（Discrete Element Method：离散元法）追踪每个粒子的运动，CFD求解流场。通过双向耦合两者，来再现粒子-流体间相互作用的方法。
和拉格朗日粒子追踪（DPM）有什么不同？
决定性的区别在于粒子间接触的处理。DPM中粒子间的碰撞使用简化模型（概率性碰撞）或忽略，而DEM中则用弹性弹簧-阻尼器模型严格计算粒子间的接触力。因此适用于粉体、颗粒等粒子间力很重要的体系。
控制方程
请告诉我DEM侧的方程。
追踪每个粒子 $i$ 的平动和转动运动。
$\mathbf{F}_{c,ij}$ 是与粒子 $j$ 的接触力，Hertz-Mindlin模型是代表性的。法向接触力可表示为：
这里 $E^*$ 是等效杨氏模量，$R^*$ 是等效半径，$\delta_n$ 是重叠量，$\gamma_n$ 是阻尼系数。
CFD侧呢？
求解局部平均化的Navier-Stokes方程。考虑粒子存在导致的空隙率 $\varepsilon_f$。
$\mathbf{S}_p$ 是粒子对流体的反作用力（动量源项），是CFD网格内所有粒子所受流体力的总和除以体积。
阻力模型
作用于粒子的流体力是如何建模的？
最重要的是阻力，使用依赖于局部空隙率的阻力模型。
作用于粒子的流体力是如何建模的？
最重要的是阻力，使用依赖于局部空隙率的阻力模型。
| 模型 | 适用范围 | 特点 |
|---|---|---|
| Ergun | $\varepsilon_f < 0.8$ | 适用于填充床 |
| Wen-Yu | $\varepsilon_f > 0.8$ | 适用于稀疏区域 |
| Gidaspow | 全区域 | Ergun + Wen-Yu 切换 |
| Di Felice | 全区域 | 连续过渡 |
| Koch-Hill | 全区域 | 基于格子玻尔兹曼法数据库 |
除了阻力还有其他力吗？
压力梯度力、虚拟质量力、Saffman升力、Magnus力等也可以考虑，但在密度比 $\rho_p / \rho_f \gg 1$（如粉体-空气体系）时，阻力占主导，其他力大多可以省略。
Cundall的革命——1979年，粒子“碰撞”被公式化
DEM（离散元法）的创始人Peter Cundall在研究岩体破坏力学时，于1979年发表了“用弹簧-阻尼器系建模各粒子接触力”的思想。最初目的是分析岩块的崩塌，但30年后，与CFD结合的DEM-CFD作为流化床、混合器、片剂包衣机的设计工具，在制药、化学行业迅速普及。据说Cundall本人在晚年表示“没想到会应用得如此广泛”，这是一个简单的模型改变行业的绝佳例子。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。一开始水会不稳定地哗啦流出，过一会儿就变成稳定的水流了吧？描述这个“正在变化的过程”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭导致流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定后”——也就是将此项设为零。计算成本大幅降低，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶扔进河里会怎样？会被水流带着流向下游吧。这就是“对流”——流体的运动搬运物体的效果。暖风的暖气能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快时此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中对流占压倒性优势，扩散成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体会从针尖有力地喷出对吧？为什么？因为活塞侧压力高，针尖压力低——这个压力差成为推动流体的力。大坝放水也是同样原理。天气图上等压线密集的地方呢？没错，会刮强风。“有压力差的地方产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD的“压力”多为表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么？因为比周围轻（密度低），被浮力推上去。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶的火焰产生化学反应热，工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——冬天房间里开了暖气但暖空气不上升，得到这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用情况：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C，水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘度系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘度系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判定指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值解法详情
DEM和CFD的耦合是如何实现的？
我来解释基本的耦合方案。
1. 用CFD时间步长 $\Delta t_{CFD}$ 求解流场
2. 插值各粒子位置处的流体速度·压力
3. 计算流体力（阻力等）并施加到各粒子
4. 用DEM时间步长 $\Delta t_{DEM}$ 更新粒子（多个子步）
5. 根据粒子位置重新计算空隙率
6. 将粒子→流体的反作用力反映到CFD源项
7. 进入下一个CFD步
DEM和CFD的时间步长不一样吗？
DEM的时间步长因接触力计算需要非常小，以Rayleigh时间的20~30%为基准。
典型情况是，CFD的1个步长内执行DEM的100~1000个子步。这是DEM-CFD计算成本的主要原因。
空隙率计算
空隙率是怎么计算的？
根据CFD网格内包含的粒子体积计算。对于粒子跨越网格边界的情况，有以下处理方法。
| 方法 | 概要 | 特点 |
|---|---|---|
| Cell Centre | 将整个体积归属到粒子中心所在的网格 | 简单但不连续 |
| Divided Volume | 将粒子体积分配到网格间 | 更平滑 |
| Diffusion-based | 使用核函数平滑化 | 最平滑但计算成本高 |
CFD网格尺寸是粒子直径的3~5倍以上，这是unresolved DEM-CFD的前提条件。网格比粒子小，空隙率的定义就会失效。
resolved vs. unresolved DEM-CFD
resolved和unresolved的区别是什么？
unresolved是粒子直径小于CFD网格，用阻力模型表示相互作用。resolved是粒子直径大于网格，直接解析粒子表面的流场。通过浸入边界法或重叠网格实现，但粒子数通常限制在数百个左右。
主要软件
有哪些可以进行DEM-CFD耦合的工具？
resolved和unresolved的区别是什么？
unresolved是粒子直径小于CFD网格，用阻力模型表示相互作用。resolved是粒子直径大于网格，直接解析粒子表面的流场。通过浸入边界法或重叠网格实现，但粒子数通常限制在数百个左右。
有哪些可以进行DEM-CFD耦合的工具？
| DEM侧 | CFD侧 | 耦合方式 |
|---|---|---|
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