相容质量矩阵 — CAE术语解说

这是个容易混淆的问题。相容质量矩阵（Consistent Mass Matrix）使用形状函数将质量分配到节点，理论精度较高。另一方面，集中质量矩阵（Lumped）直接将质量集中到节点，矩阵成为对角矩阵，计算速度快——特别是对于显式法（动态碰撞分析等）来说，对角质量矩阵是必须的。对于特征值分析、频率响应分析使用相容的，对于显式法的碰撞和冲击分析使用集中的，这是基本原则。

使用单元的形状函数N，通过 [M_e] = integral(rho * N^T * N dV) 这样的积分来构造。对于四节点四边形单元，进行这个积分后会得到一个4×4的矩阵，其中不仅对角线上有非零分量——"相容（consistent）"这个名称指的是用形状函数一致构造的意思。而集中质量只是将单元的全质量等分到各个节点的对角线上。计算相对简单，但在弯曲变形是主要模态的情况下，相容质量的精度会更高。

在显式法的时间积分（中心差分法等）中，每一步都要求解 [M]{a} = {f} - [K]{u}，但如果M是对角矩阵，就可以独立计算每个自由度 a_i = (f_i - ...)/M_ii ——不需要矩阵求逆。这就是"显式（explicit）"的含义，计算成本大幅降低。如果用相容质量，需要求解M矩阵（实际上是LU分解），就失去了显式法的优势。这也是为什么LS-DYNA等专用碰撞分析代码只支持集中质量的原因。

适用于频率响应分析、特征值分析和隐式法的动态分析。特别是对于梁和板的弯曲振动，相容质量的固有频率预测精度更好。例如，使用3节点梁单元的相容质量，可以用比集中质量更粗的网格达到相同的频率精度。在研究论文和精密振动分析中经常指定相容质量。Abaqus在STEP: FREQUENCY（特征值）的默认设置也是相容质量。如果问题适合稀疏计算，集中质量的差异也很小。

粗略来说——①显式法（碰撞、冲击、爆炸）→只能用集中质量，②特征值分析和频率响应→相容质量（精度优先）或集中质量（计算速度优先）都可以，③模态分析（几十个模态就够）→集中质量在很多情况下已经足够，④梁板的高阶模态精度要求高→相容质量有优势，这样的感觉。实际上最快的确认方法就是两种都试一下，然后比较固有频率。