曲线拟合 (Curve Fitting) — CAE术语解说
曲线拟合是什么
定义与基本原理
曲线拟合在CAE中通常用在哪些场景？不仅仅是在图表上画一条线吧？
最常见的是材料参数的同定。从拉伸试验或压缩试验获得的应力-应变数据中，确定构成律（材料模型）的参数。例如橡胶材料的密封件分析时，需要将Mooney-Rivlin模型的 $C_{10}$、$C_{01}$ 拟合到试验数据上来求取。没有试验数据，CAE就无法进行，所以曲线拟合是分析的入口。
我明白了，曲线拟合是试验数据和模型式的桥梁。简单地说，应该如何进行？
基本上分三个步骤。(1) 选择数式模型（例如：Mooney-Rivlin、Ogden、Arruda-Boyce等），(2) 使用最小二乘法对该模型的未知参数进行优化，使与试验数据的误差最小，(3) 对拟合结果进行验证和可行性确认。这个"使误差最小"的部分就使用了最小二乘法。
最小二乘法的数学基础
经常听说最小二乘法，但具体是怎样的原理？
实测值 $y_i$ 与数式模型预测值 $f(x_i; \boldsymbol{\theta})$ 的差（残差）进行平方，对所有数据点进行求和，使该求和达到最小值的参数 $\boldsymbol{\theta}$ 被选择的方法。用公式表示如下：
$$S(\boldsymbol{\theta}) = \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i - f(x_i; \boldsymbol{\theta}) \right]^2 \to \min$$
平方的目的是防止正残差和负残差相互抵消。
我听说线性情形是可以分析求解的，那CAE的材料拟合怎么样？
线性模型，例如 $f = a + bx$，可以用正规方程直接求解。但CAE使用的材料模型几乎都是非线性的，所以需要使用非线性最小二乘法。最典型的是Levenberg-Marquardt法，它结合了梯度下降法和Gauss-Newton法的优点。Abaqus的材料校准功能和Ansys的"Curve Fitting"工具在内部通常都使用这个算法。
在材料参数同定中的应用
Mooney-Rivlin模型的拟合具体怎么进行？
Mooney-Rivlin模型的应变能密度函数是：
$$W = C_{10}(I_1 - 3) + C_{01}(I_2 - 3)$$
其中 $I_1$、$I_2$ 是右Cauchy-Green变形张量的不变量。单轴拉伸的情况下，用伸长比 $\lambda$ 表示名义应力为：
$$\sigma_{\text{eng}} = 2\left(\lambda - \frac{1}{\lambda^2}\right)\left(C_{10} + \frac{C_{01}}{\lambda}\right)$$
将这个式子拟合到试验数据的 $(\lambda_i, \sigma_i)$ 上来求取 $C_{10}$、$C_{01}$。例如硅橡胶通常 $C_{10} \approx 0.2$ MPa、$C_{01} \approx 0.05$ MPa 左右。
只用单轴拉伸数据拟合就够了吗？
这正是最常见的陷阱。仅用单轴拉伸数据拟合的话，等二轴拉伸和纯剪切的行为往往完全不匹配。实际的部件经历复杂的多轴应力状态，所以最少要同时拟合两种（单轴拉伸+等二轴或纯剪切）数据才是铁则。我见过用单轴数据的模型进行发动机挂架分析，刚性偏离30%的案例。
Mooney-Rivlin以外还有各种超弹性模型吧。怎么样选择使用？
粗略地说，按应变范围来区分。Mooney-Rivlin适合中等应变（～150%左右），大应变（300%以上）时Ogden模型比较强，想表现分子链拉伸断裂时用Arruda-Boyce模型。实务上，对所有候选用最小二乘法拟合，选择 $R^2$ 高且残差偏差小的那个。使用求解器内置的校准功能可以一次性比较多个模型。
拟合品质的评估
怎么判断拟合好坏？仅看 $R^2$ 就够了吗？
决定系数 $R^2$ 接近1是基本，但这还不够。重点是三个方面。首先看残差图——残差是否随机分散，有无系统性偏差（U形模式等）。其次检查外推的合理性——拟合范围外应力是否会变成负值或发散，超弹性模型还要满足Drucker稳定条件。最后检查参数的物理合理性——例如 $C_{10}$ 如果变成负值，这在物理上是不合理的，无法使用。
试验数据噪声比较大的情况下，怎么办？可以直接拟合吗？
噪声多的数据用高次模型直接拟合会发生过拟合（Overfitting）。数据点虽然被完美地通过，但曲线会出现锯齿状波动，失去物理意义。对策包括：(1) 数据平滑化（移动平均或Savitzky-Golay），(2) 降低模型次数，(3) 加入正则化项。但根本的解决办法是提高试验数据的质量——改进试验片准备和计测环境才是关键。
金属材料的塑性模型，比如Johnson-Cook模型也是用曲线拟合来确定的吗？
完全正确。Johnson-Cook模型是：
$$\sigma = \left(A + B\varepsilon_p^n\right)\left(1 + C\ln\dot{\varepsilon}^*\right)\left(1 - T^{*m}\right)$$
需要同定5个参数 $A, B, n, C, m$。通常的做法是先用准静态拉伸试验拟合 $A, B, n$，再用不同应变速率的试验确定 $C$，高温试验确定 $m$，采用分阶段的方法。在碰撞分析或冲压成形分析中，这个校准的精度对结果影响很大，是不能忽视的工程步骤。
相关术语
- 最小二乘法 (Least Squares Method): 通过最小化残差平方和来估算参数的最基本方法
- Levenberg-Marquardt法: 高效求解非线性最小二乘问题的迭代算法
- 超弹性模型 (Hyperelastic Model): 描述橡胶、弹性体等大变形行为的构成律
- 参数同定 (Parameter Identification): 从试验数据确定材料模型常数的全过程
- 决定系数 $R^2$: 用0～1表示拟合优度的统计指标
- 过拟合 (Overfitting): 虽然对数据拟合度好，但泛化性能低的状态
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