频率响应分析（Frequency Response Analysis） — CAE术语解释

简单来说，就是向结构物施加正弦波力，并逐步改变力的频率，求取各频率处结构物的振幅（振动大小）和位相（与施加力的滞后量）。英文称为Frequency Response Analysis，简称FRA。

很好的问题。通过傅里叶变换，任何复杂波形都可以分解为正弦波的叠加。掌握了各频率处的应答，就可以将它们叠加恢复成实际的时间历程应答。这就是频率响应分析的强大之处。

基本的运动方程是这样的：

FRF是输入（力）与输出（位移、速度、加速度）的比的频率函数。对于单自由度系统：

在激振试验中经常使用加速度传感器，所以最常用的是加速度导纳。用脉冲锤敲击，用加速度传感器采集信号，FFT分析仪会自动计算$H(\omega) = A(\omega)/F(\omega)$。在汽车的NVH（噪声、振动、硬度）开发中，这样的数据每天都在获取。

模态法（Modal Frequency Response）先通过特征值解析求取模态形状和固有振动数，然后将应答表示为模态的叠加。通过模态矩阵$\mathbf{\Phi}$变换物理坐标$\mathbf{u}$：

事情没有那么简单。模态法有一些限制。首先是截断模态数的问题。需要提取到分析频率范围上限的1.5～2倍的模态，否则精度会下降。其次，频率依赖阻尼（如粘弹性材料）难以精确处理。再次，非对称矩阵（流体耦合等）在模态法中也很困难。

完全正确。直接法（Direct Frequency Response）在每个频率步骤处组建动态刚度矩阵$\mathbf{D}(\omega) = -\omega^2\mathbf{M}+i\omega\mathbf{C}+\mathbf{K}$，直接求解联立方程组。没有模态截断误差，频率依赖材料也能直接处理。但如果自由度数量是数十万甚至数百万级，每个频率都要求解大规模复数联立方程，计算成本是模态法的数倍。例如汽车车身振动分析，模态法需要几个小时，直接法可能要花整个晚上。

这是针对FRF共振峰值的方法。记峰值最大值为$|H|_{\max}$，找出$|H|_{\max}/\sqrt{2}$（即-3dB）对应的两个频率$f_1$、$f_2$，则阻尼比$\zeta$为：

有两点要注意。第一是频率分辨率。当$\Delta f$很小（低阻尼）时，峰值很尖锐，如果频率步距太粗，$f_1$、$f_2$就无法准确读取。经验上，共振峰值宽度内至少要有5～10个点。第二是模态重叠。当相邻共振频率很接近时，裾部重叠，-3dB点就无法正确读取。这种情况下改用曲线拟合法（最小二乘法解析地同定模态参数）会更实用。

再看一遍单自由度系统的$H(\omega)$：

位相在共振点处恰好滞后90度。在低频侧（$r \ll 1$），力与位移几乎同相（0度）；在高频侧（$r \gg 1$），滞后180度，即与力的方向相反。"共振点处90度"这个特性在实验中非常明显，所以常用位相信息来识别共振频率。在Bode图中同时绘制振幅和位相，共振点一目了然。

主要有三点。首先是频率步长设置。等间距的话容易漏掉共振峰值。最好使用"自适应频率步长"功能在峰值附近自动加密，或者手动在固有振动数的±10%范围内加细步长，这样会更安全。

阻尼模型的选择。Rayleigh阻尼（$\mathbf{C}=\alpha\mathbf{M}+\beta\mathbf{K}$）只能在两个频率处精确拟合，在宽频带分析中高频端的阻尼容易偏大。用结构阻尼（滞后阻尼、损失因子$\eta$）的话能得到与频率无关的恒定阻尼比，这在宽频带分析中很方便。但从严格的数学角度，结构阻尼不完全满足因果律，转换回时间历程时需要小心。

残余模态修正。模态法中截断上限频率以上的模态，高阶模态的静力贡献就会丢失。用Nastran的RESVEC（残余向量）或Abaqus的residual mode功能进行修正，即使用较少的模态也能大幅提高精度。特别是荷载点和响应点很近的情况（点FRF），影响尤其大，一定要记得设置。