パワースペクトル密度応答解析
パワースペクトル密度応答の理論基礎
PSD応答解析とは
先生、「PSD応答解析」って何ですか？
ランダム振動って確定的な波形がないんですか？
そう。地震、道路面の凹凸、ジェットエンジンの音響、ロケットの打ち上げ振動…これらは確定的な時刻歴ではなく、統計的な特性（PSD）で記述される。
入力PSDと応答PSD
ランダム振動の基本公式：
- $S_{in}(f)$ — 入力PSD（加速度 $g^2$/Hz、力 $N^2$/Hz等）
- $H(f)$ — 周波数応答関数（FRF）
- $S_{out}(f)$ — 応答PSD（変位 $mm^2$/Hz、応力 $MPa^2$/Hz等）
FRFの2乗×入力PSD = 出力PSD。シンプルですね。
PSD応答解析は周波数応答解析の結果を使う。まずFRF $H(f)$ を求め（モード法 or 直接法）、入力PSD $S_{in}(f)$ をかけるだけ。追加の計算コストはほぼゼロ。
RMS値
応答のRMS（Root Mean Square）値は応答PSDの積分：
PSDの面積の平方根がRMS。RMSが「振動の大きさ」の指標ですね。
ランダム振動の設計では3σ（3×RMS）が最大応答の目安。正規分布を仮定すると、99.7%の確率で振幅が3σ以内。設計安全率として3σを使うことが多い。
Nastran
```
SOL 111 $ モード法周波数応答
CEND
METHOD = 10
RANDOM = 20
BEGIN BULK
RANDOM, 20, , FREQ, TABRND1, 100
TABRND1, 100, , ,
, 20., 0.01, 200., 0.01, 500., 0.04, 2000., 0.04, ENDT
```
Abaqus
```
*STEP
*RANDOM RESPONSE
20., 2000., 100, 1.
*PSD DEFINITION, NAME=base_psd, TYPE=BASE
20., 0.01
200., 0.01
500., 0.04
2000., 0.04
*END STEP
```
入力PSDをテーブル（周波数 vs. PSD値）で定義するんですね。
航空宇宙ではMIL-STD-810やNASA-STD-7001のランダム振動スペクトルがPSDで規定される。このPSDテーブルをFEMに入力。
まとめ
要点：
- $S_{out} = |H|^2 \cdot S_{in}$ — FRFの2乗×入力PSD = 出力PSD
- RMS = $\sqrt{\int S_{out} df}$ — 応答の実効値
- 3σが最大応答の目安 — 正規分布の99.7%
- 周波数応答解析のPSD版 — 追加コストほぼゼロ
- SOL 111 + RANDOM（Nastran）, *RANDOM RESPONSE（Abaqus）
PSD（パワースペクトル密度）の定義
パワースペクトル密度S(f)は、単位周波数帯域あたりの平均二乗値で定義され、単位はG²/HzやPa²/Hz。Wiener-Khinchinの定理（1930年代にNorbert Wienerとアレクサンドル・ヒンチンが独立に証明）により、PSDは自己相関関数のフーリエ変換に等しい。実測データから推定する際はWelchのオーバーラップ平均法（1967年提案）が標準的で、周波数分解能とバリアンスのトレードオフを窓関数幅で制御する。
パワースペクトル密度応答の数値計算手法
PSD解析の計算
PSD応答はどう計算しますか？
1. 固有振動数解析（SOL 103 / *FREQUENCY）
2. 周波数応答解析（SOL 111 / *SSD）→ FRF $H(f)$ を取得
3. PSD応答計算 — $S_{out}(f) = |H(f)|^2 \cdot S_{in}(f)$
4. RMS値の計算 — $x_{rms} = \sqrt{\int S_{out} df}$
ステップ3と4はFRFの後処理で、追加の解析は不要。
多自由度系のPSD応答
多自由度系ではモード間の相関（cross-modal terms）も考慮：
相関項が「モードの重なり」を反映。密集モードでは相関項が重要。
入力PSDの典型例
| 規格 | 周波数範囲 | PSD値 |
|---|---|---|
| MIL-STD-810 Method 514 | 20〜2000 Hz | 0.04 g²/Hz（フラット部分） |
| NASA-STD-7001 | 20〜2000 Hz | レベル依存 |
| IEC 60068-2-64 | 10〜500 Hz | 製品カテゴリ依存 |
まとめ
Welch法によるPSD推定手順
Welch法のPSD推定は①時系列データを50%オーバーラップで分割（典型的に512〜4096点）、②各セグメントにHann窓を掛けてFFT、③FFTの絶対値二乗をサンプリング間隔とセグメント数で正規化して平均化、の手順で実施。Pythonではscipy.signal.welch(x, fs, nperseg=1024)の1行で計算可能。振動試験規格ASTM E1049では統計自由度が少なくとも120以上（約60セグメント以上）になるよう収録時間を設定することを推奨している。
パワースペクトル密度応答の実務適用
ランダム振動試験のシミュレーション
MIL-STD-810やIEC 60068のランダム振動試験をFEMで事前シミュレーション。入力PSD→応答PSD→RMS（3σ）応力で疲労寿命を評価。
宇宙機器の振動評価
ロケット打ち上げ時のランダム振動環境。各機器の取付点でのPSD入力→機器内部の応答PSD→電子部品の3σ加速度。
自動車のロードノイズ
路面の凹凸PSD→タイヤの入力→車体の応答PSD→車室内の振動/騒音。
実務チェックリスト
3σルールが設計の基本ですね。RMS×3で最大応答を推定。
非正規分布（重い裾を持つ分布）の場合は3σでは不十分で、4σ〜6σを使う場合もある。分布の仮定を明確にすること。
人工衛星構造物の音響疲労評価
ESA（欧州宇宙機関）のArianne 6ロケット打上げ時、フェアリング内の音圧レベルは最大144dBSPL（20〜2000Hz）に達する。衛星パネルのPSD応答解析はNassif & Kaoの音響-構造連成法で行われ、アルミハニカムパネルの面内応力RMSをNastranSOL 111で算出。2003年のMars Express探査機では、この解析結果に基づいてパネル厚を1.0mmから1.2mmに変更し、音響疲労破壊リスクを低減した設計変更が加えられている。
パワースペクトル密度応答のソフトウェア比較
PSD応答のツール
選定ガイド
振動試験コントローラの主要製品
ランダム振動試験のコントローラ市場はSpectral Dynamics（現在はSchenck Process傘下）、Crystal Instruments、Vibration Research、IMC Test & Measurementが4強。Crystal InstrumentsのSpider-80Xはサンプリング最大204.8kSPS・102.4kHz帯域でPSD制御精度±1.0dB。TEAM CorporationとMTSは大型多軸シェーカ（MAST：Multi-Axis Simulation Table）システムを提供し、Bosch、Toyota、NASAが採用している。
パワースペクトル密度応答の先端研究
PSD応答の先端研究
非定常ランダム過程へのWigner-Ville分布
発射時のロケット振動のように時間とともに統計的性質が変化する非定常ランダム過程には、通常のPSDでなくWigner-Ville分布（時間-周波数表現）が有効。1948年にEugene Wignerが量子力学で導入した概念を信号処理に適用したもので、時間分解能と周波数分解能を同時に得られる。欠点として交差項（クロスタム）が生じるため、Choi-Williams分布などの平滑化版が実用に使われる。Matlab Signal Processing Toolbox 2022a以降でwvd()関数として実装されている。
パワースペクトル密度応答のトラブル対応
PSD応答のトラブル
ピクチャリング（周波数漏れ）対策
PSD推定でFFT窓関数を使わない（矩形窓）場合、スペクトル漏れ（Spectral Leakage）で隣接周波数の成分が混入し、ピーク値が最大30dB以上偽装されることがある。対策はHann窓（Hanning窓）またはFlat-Top窓の適用。Flat-Top窓は振幅確度が±0.1%と優れるが周波数分解能が低下するため、振動試験の入力制御（シェーカ制御）ではHann窓が主流。B&K社のLAN-XIシステムではデフォルト窓関数がHann窓に設定されている。
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