强形式 — CAE用语解说

强形式是偏微分方程本身的形式。例如对于1D弹性棒，就是 d²u/dx² + f = 0。因为要求"在所有点上严格满足微分方程"，所以称为"强"。有限差分法（FDM）直接离散化强形式。

FEM先将强形式转换为弱形式（变分形式、加权残差法）然后再离散化。转换为弱形式后，微分阶数会降低（2阶微分→1阶微分），因此对近似函数的光滑性要求会放宽。这就是FEM能使用低阶多项式（1次或2次单元）的原因。

离散化强形式的差分法只能在结构网格（正交网格）上使用。对复杂形状的模型应用差分法很困难。如果用弱形式，就可以使用三角形或四面体这样自由形状的单元，能适应任何复杂形状。这是FEM压倒性普及的最主要原因。

在可以使用结构网格的场景中，比如DNS或LES的通道流分析、波动方程求解、气象预报网格模型等，FDM至今仍在现役使用。实现简单、计算效率高是FDM的优势。

理解与弱形式的对比和FDM的特性是关键。

没错。从数学角度，这是用Green定理（多维分部积分）将2阶微分降到1阶的操作。这个转换还能导出自然边界条件，所以要理解FEM理论就绕不开弱形式。