波的基本性质 — 波长·振动数·位相速度到声学CAE
1. 波是什么 — 能量的传播
超声波探伤检测（UT）是非破坏试验中使用的，对吧？利用波的什么性质呢？
利用反射和音速差异。把超声波发送到材料内部，在音响阻抗不同的边界（如裂纹和空腔）处反射回来，测定返回时间。已知传播速度（钢约5900 m/s），就能计算出反射源的距离。MRI和鱼群探测仪也使用同样原理。
波是"物质自体不移动，而是能量和位相（振动图样）传播的现象"。看水面波纹，水的粒子只上下运动，并不横向移动，但波的图样（能量）却向远处扩散。
2. 波的分类与基本术语
横波与纵波
- 横波（Transverse Wave）：振动方向垂直于波的传播方向。光波、电磁波、地震S波、水面波。固体中的剪切波也属于此类。
- 纵波（Longitudinal Wave）：振动方向平行于波的传播方向（疏密波）。音波、地震P波、超声波压缩波。
波的基本术语
- 振幅 $A$：最大位移的大小
- 波长 $\lambda$ (m)：相邻同位相点的间距
- 振动数（频率）$f$ (Hz)：每秒通过的波数
- 角振动数 $\omega = 2\pi f$ (rad/s)
- 波数 $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m)：空间上的角振动数
- 位相速度 $v = f\lambda = \omega/k$ (m/s)
| 介质·波的种类 | 波速参考值 |
|---|---|
| 音波（空气中，20℃） | 343 m/s |
| 音波（水中） | 1480 m/s |
| 纵波（钢中） | 5920 m/s |
| 地震P波（地壳） | 5000～7000 m/s |
| 地震S波（地壳） | 3000～4000 m/s |
| 光（真空中） | 3×10⁸ m/s |
3. 波的基本方程（正弦波）
沿 $+x$ 方向传播的正弦波：
位相的意义：满足 $kx - \omega t = \text{const}$ 的点形成同位相面（波面），随时间以速度 $v = \omega/k$ 沿 $+x$ 方向移动。这就是位相速度的定义。
一维波动方程（Helmholtz方程的时间域版本）：
其中 $T$ 是张力，$\mu$ 是单位长度质量。这个偏微分方程用有限元离散化后就成为FEM声学分析的基础。
4. 叠加原理与干涉
线性波动方程中，多个波的解相加仍然是解（叠加原理）：
建设性干涉（同位相）
两个波同位相（位相差 $\delta = 0$）时：
振幅加倍。
破坏性干涉（反位相）与消音原理
反位相（位相差 $\delta = \pi$）时：
完全消音。这就是主动降噪（ANC）的原理。用麦克风接收噪音后，通过扬声器输出反位相的波来抵消噪音。自动汽车排气消音器（主动消声器）就是这样应用的。
拍音（拍击）
两个频率略有不同的波 $f_1$、$f_2$ 合成时：
拍音频率：$f_{beat} = |f_1 - f_2|$。乐器调音时，当两个音拍音消失说明音高一致。机械振动中，两台转速略有差异的电动机相互干涉也会产生拍音现象。
5. 定在波（Standing Wave）
两个振幅相同、频率相同、方向相反的进行波相遇时，形成定在波：
振幅为零的点（节、Node）和振幅最大的点（腹、Antinode）固定不动。
两端固定弦的共振频率
$n=1$：基频，$n=2,3,\ldots$：倍频（高次谐波）。弦乐器的音阶就是这些共振频率的组合。
室内音响与定在波
矩形房间的定在波（Room Mode）在三维空间中出现：
室内音响设计中，这些Room Mode会导致低频处声压分布不均（某些位置沉闷，某些位置不清晰）。利用FEM声学分析计算Mode形态，优化吸音材料的配置。
6. 反射·折射·衍射
斯涅尔定律（折射）
光的折射规律同样适用于音波和弹性波。
全反射
当 $v_2 > v_1$ 时，入射角超过临界角 $\theta_c = \arcsin(v_1/v_2)$ 就会发生全反射。超声波探伤中的斜角探伤法（以斜入射将超声波转换为横波）就是应用这个原理。
衍射与波长
波绕过障碍物的现象（衍射）在障碍物尺寸与波长接近或更小时明显。音波（波长数厘米到数米）会在墙角衍射，光波（波长数百纳米）则不会从同样的障碍物绕过。建筑隔音屏障设计要考虑衍射效应，用FEM/BEM声学分析优化屏障高度和形状。
7. 多普勒效应
声源或观测者运动时，观测到的振动数会改变：
符号规则：观测者靠近声源（+）或声源靠近观测者（−）时用上符号。
工程应用
- 超声波流速计（多普勒流速计）：通过流体中粒子或血球反射的超声波频率变化来测流速。用于血流测量、管道流量计。
- 气象雷达：通过雨滴反射的电磁波频率变化来测风速。
- 汽车测速雷达（警用雷达）：用微波多普勒偏移来测车速。
8. 波的色散（Dispersion）
位相速度随频率变化的现象称为色散（Dispersion）。
梁中弯曲波的色散关系
弹性梁中的弯曲波位相速度与频率平方根成正比：
高频传播更快。这与杆中纵波无色散（$v = \sqrt{E/\rho}$）不同。
结构声学分析中，薄板或梁的弯曲波色散特性对辐射音有重大影响。板的临界频率（coincidence frequency）以上，辐射效率急剧增加，FEM-BEM耦合分析时需要确认。
9. FEM/BEM波动与声学分析
音场的控制方程是Helmholtz方程（频率域波动方程）：
其中 $p$ 是声压幅值，$k$ 是声波数（Acoustic Wave Number）。
FEM声学分析（有限元法）
适用于闭合内部声场（房间、车室、消声器内部）。单元尺寸的目安约为最短波长的六分之一：$\Delta x \leq \lambda_{min}/6 = c/(6f_{max})$。
用FEM分析汽车室内噪声时，使用什么软件？频率不同会有差别吗？
有不同的使用方式。1000Hz以下主要用FEM（Actran、NASTRAN、Abaqus Acoustics），1000～3000Hz使用混合手法，3000Hz以上用SEA（统计能量分析，AutoSEA等）或光线追踪法，这是实务的标准做法。低频时波的干涉图样很重要，高频则用统计方法处理更有效率。BEM（边界元法）用于外部声场（辐射声）。
BEM声学分析（边界元法）
适用于外部声场（发动机音辐射、建筑外部噪声等）。与FEM不同，不需要对内部进行单元划分（只需边界），自动满足无限远处的辐射条件。但每个频率都需要大规模稠密矩阵运算。
FEM-BEM耦合分析（结构-声学耦合）
预测振动结构（发动机、电动马达、面板）的辐射声时，将结构FEM与声学BEM耦合：
- 用结构FEM计算表面振动速度
- 用声学BEM从表面速度计算远场声压
- 或用声学FEM计算车室内声压分布
吸音材料建模
内饰等吸音材料用复阻抗边界条件近似：
其中 $Z_s$ 是表面声阻抗。用阻抗管试验（ISO 10534）实测的值输入FEM。