横向屈曲（弯曲扭转屈曲）
理论与物理
什么是侧向扭转屈曲
老师，“侧向扭转屈曲”和柱子的屈曲不一样吗？
完全不同。柱子的屈曲是由压缩力引起的，而侧向扭转屈曲（lateral-torsional buckling, LTB）是由弯矩引起的。是梁在弯曲问题中发生的屈曲。
弯曲也会屈曲？和梁折断不一样吗？
不一样。想象一下承受弯矩的H型钢梁。弯矩导致上翼缘受压，下翼缘受拉。这个受压翼缘试图向侧向逃逸的现象就是侧向扭转屈曲。同时伴随扭转变形，所以也称为“弯扭屈曲”。
啊，只有受压翼缘会屈曲吗？受拉翼缘是稳定的？
没错。受拉翼缘是稳定的，但受压翼缘会试图向侧面倾倒。结果，梁整体发生侧向挠度和扭转角的复合变形。这就是侧向扭转屈曲的基本机制。
控制方程
侧向扭转屈曲的数学公式是怎样的？
承受等弯矩、两端简支（侧向和扭转受约束）的H型钢梁的弹性侧向扭转屈曲弯矩为：
其中：
- $I_z$ — 绕弱轴的截面惯性矩
- $GJ$ — 圣维南扭转刚度
- $C_w$ — 翘曲常数（翘曲约束扭转刚度）
- $L$ — 侧向约束间距
包含了 $I_z$、$GJ$ 和 $C_w$ 三项…比柱子屈曲只有 $EI$ 的公式复杂多了。
因为侧向扭转屈曲是侧向弯曲（$EI_z$）和扭转（$GJ + \pi^2 EC_w/L^2$）两种抵抗机制耦合的问题。扭转刚度高的截面（如箱形截面）不容易发生侧向扭转屈曲。
影响侧向扭转屈曲的因素
什么样的梁容易发生侧向扭转屈曲？
我们来整理一下主要因素。
| 因素 | 容易侧向扭转屈曲 | 不易侧向扭转屈曲 |
|---|---|---|
| 截面形状 | 开口截面（H型钢、I型钢） | 闭口截面（箱形、圆形） |
| 侧向约束间距 $L$ | 长 | 短 |
| 翼缘宽/梁高比 | 小（细长截面） | 大 |
| 荷载作用位置 | 上翼缘荷载 | 下翼缘荷载 |
| 弯矩分布 | 等弯矩 | 反对称弯矩 |
荷载作用在上翼缘还是下翼缘有区别吗？
区别很大。上翼缘荷载是直接作用在受压翼缘上，因此会助长侧向扭转屈曲。另一方面，下翼缘荷载（受拉翼缘荷载）会抑制侧向扭转屈曲。这个效应以荷载作用点偏心的形式反映在 $M_{cr}$ 的公式中。
弯矩修正系数 $C_b$
弯矩分布不同，侧向扭转屈曲荷载也会变化对吧。
等弯矩（$M_1 = M_2$）是最不利的情况，不等弯矩时侧向扭转屈曲荷载会提高。表示这个效应的就是弯矩修正系数 $C_b$。
典型的 $C_b$ 值：
| 弯矩分布 | $C_b$ |
|---|---|
| 等弯矩 | 1.0（基准） |
| 一端弯矩（三角形） | 1.75 |
| 中央集中荷载 | 1.32 |
| 均布荷载 | 1.14 |
| 反对称（双曲率） | 2.27 |
反对称弯矩时屈曲承载力竟然提高到2.27倍！效果相当大啊。
反对称时弯矩方向在中途改变，受压翼缘会发生切换。这抑制了侧向变形。正确应用 $C_b$ 可以避免过度设计。
非弹性侧向扭转屈曲
截面已经屈服的情况下的侧向扭转屈曲会怎样？
当弹性侧向扭转屈曲的 $M_{cr}$ 接近或超过塑性弯矩 $M_p$ 时，就进入了非弹性侧向扭转屈曲区域。由于材料塑性化导致刚度降低，会在比弹性侧向屈曲公式更低的荷载下屈曲。
设计规范中分为三个区域：
1. 塑性域 — 非常短的梁。$M_R = M_p$。不发生侧向扭转屈曲
2. 非弹性侧向扭转屈曲域 — 中等长度。$M_p > M_R > 0.7 M_p$ 左右
3. 弹性侧向扭转屈曲域 — 长梁。$M_R = M_{cr}$
和欧拉屈曲按长细比分类的结构一样呢。
正是如此。相当于侧向扭转屈曲“长细比”的是 $\bar{\lambda}_{LT} = \sqrt{M_p / M_{cr}}$。这个值小（粗短的梁）就是塑性域，大（细长的梁）就是弹性侧向扭转屈曲域。
总结
我来整理一下侧向扭转屈曲的理论。
要点：
- 侧向扭转屈曲是弯矩引起的屈曲 — 受压翼缘的侧向失稳
- 侧向弯曲与扭转的耦合问题 — 涉及 $EI_z$, $GJ$, $C_w$ 三种刚度
- 用 $C_b$ 反映实际的弯矩分布 — 等弯矩最不利
- 荷载作用位置的影响 — 上翼缘荷载是危险侧
- 弹性/非弹性/塑性三个区域 — 按侧向扭转屈曲长细比分类
使用开口截面梁时，受压翼缘的侧向约束是设计的关键呢。
没错。钢结构梁上有楼板时，楼板作为上翼缘的侧向约束可以防止侧向扭转屈曲。相反，地震时下翼缘受压就会缺少侧向约束，侧向扭转屈曲就会成为问题。在实际结构中，“哪个翼缘受压”始终很重要。
侧向扭转屈曲与I形截面的弱点
侧向扭转屈曲（LTB）由截面的弱轴弯曲刚度和纯扭转刚度的组合来抵抗，但对于I形截面，弱轴刚度有时可能不到强轴的百分之一。Prandlt于1899年发表了理论，次年Michell独立进行了分析。现在成为AISC和EN1993中根据长细比降低强轴弯曲许用应力的设计规范的理论依据。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有没有过急刹车时身体被向前甩出去的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，但这是基于“缓慢加载所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击荷载或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（荷载项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错荷载方向。本想是“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直响吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物会在地震后一直摇晃不停。实际上不会这样，所以正确设置阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，荷载·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中是tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
基于FEM的侧向扭转屈曲分析
用FEM分析侧向扭转屈曲时，有什么特别的注意事项吗？
侧向扭转屈曲的FEM分析存在单元类型选择和翘曲处理这两个重要问题。
梁单元的侧向扭转屈曲分析
能用梁单元分析侧向扭转屈曲吗？
可以，但需要具有翘曲自由度的梁单元。普通的6自由度梁单元（Euler-Bernoulli梁或Timoshenko梁）不考虑翘曲，侧向扭转屈曲荷载会不准确。
| 梁单元类型 | 翘曲 | 侧向扭转屈曲精度 |
|---|---|---|
| 6DOF Euler-Bernoulli | 无 | 不准确（缺失 $C_w$ 项） |
| 6DOF Timoshenko | 无 | 不准确 |
| 7DOF梁单元（带翘曲） | 有 | 准确 |
Nastran或Abaqus中能用7DOF梁单元吗？
Nastran的CBEAM单元支持翘曲自由度（DOF 7）。Abaqus的梁单元（B31OS, B32OS）适用于开口截面并考虑翘曲。Ansys的 BEAM188/189 也有翘曲选项。
但需要注意。即使使用具有翘曲自由度的梁单元，如果端部的翘曲约束设置不正确，结果也会出错。翘曲自由（自由翼缘端）和翘曲固定（焊接连接端等）的侧向扭转屈曲荷载是不同的。
壳单元的侧向扭转屈曲分析
用壳单元来建模梁呢？
壳单元可以自动考虑翘曲。因为分别对翼缘和腹板进行建模，所以局部屈曲和侧向扭转屈曲都能自然地体现出来。
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