圆盘弯曲（周边固定·等分布载荷）

对周边固定的圆板施加均布载荷 $q$ 的问题，非常适合用于轴对称结构分析的基本验证。中心挠度 $w_0 = qa^4/(64D)$，其中 $D = Et^3/[12(1-\nu^2)]$ 是板的弯曲刚度。因为存在Kirchhoff板理论的精确解，所以可以对壳单元和实体单元的精度进行定量比较。

在于处理的是二维弯曲场。梁是单方向的弯曲，而圆板在径向和周向两个方向上都会产生弯矩。泊松比 $\nu$ 直接影响结果这一点也不同。这适合用于验证壳单元的面内/面外刚度耦合。

基于Kirchhoff板理论的挠度分布为

中心挠度: $w_0 = qa^4/(64D)$

径向弯矩: $M_r = \frac{q}{16}[(1+\nu)a^2 - (3+\nu)r^2]$

周向弯矩: $M_\theta = \frac{q}{16}[(1+\nu)a^2 - (1+3\nu)r^2]$

在固定端（$r = a$）产生最大的径向弯矩 $M_r|_{r=a} = -qa^2/8$。对应的最大弯曲应力为

在中心处，$M_r = M_\theta = q(1+\nu)a^2/16$，呈现各向同性的弯曲状态。这种各向同性可以作为验证网格是否正确反映圆板对称性的指标。

设 $a = 0.5$ m，$t = 0.01$ m，$q = 10$ kPa，$E = 200$ GPa，$\nu = 0.3$。则 $D = 18,315$ N·m。

理论值: $w_0 = 10000 \times 0.5^4 / (64 \times 18315) = 0.0533$ mm

二次轴对称单元对于这个问题来说精度绰绰有余。S8R（8节点减积分壳单元）也与Kirchhoff理论的假设一致，因此精度很高。实体单元在板厚方向至少需要2~3层，如果只有1层则无法准确捕捉弯曲的线性分布，精度会下降。

根据板厚/半径比 $t/a$ 来判断。如果 $t/a < 0.1$，则Kirchhoff板理论成立，使用壳单元更高效。对于 $t/a > 0.1$ 的厚板，Reissner-Mindlin的剪切变形不可忽略，需要使用实体单元或厚板壳单元。

Abaqus的S8R（支持厚板）可以稳定地用于从薄板到厚板的情况，但对于极薄板（$t/a < 0.01$）需要注意膜锁定问题。S8R5（薄板专用）更适合这种情况。

板厚方向至少需要2层二次单元（C3D20R）。如果只有1层，则弯曲的线性应力分布只能用一个积分点来评估，精度不足。线性单元（C3D8）在板厚方向需要4层以上，计算成本会急剧增加。C3D8I的非协调模式作为折衷方案是有效的。

从中心向外放射状的映射网格是理想的，但存在中心点单元退化的问题。有两种处理方法。

1. 在中心布置三角形/楔形单元: 在中心点汇聚，周围用四边形展开（蜘蛛网状）

2. 偏移中心: 使用O型网格将中心转换为正方形。可以避免中心奇异的退化问题

固定端附近弯矩梯度较大，需要提高2~3个单元范围内的网格密度。

STRI65（6节点三角形）或S6（二次三角形）可以达到实用精度。但相比四边形壳单元，收敛速度较慢，要达到同等精度需要1.5~2倍的单元数。这是自动网格的便利性与计算成本之间的权衡。

Abaqus: S8R是标准选择。SHELL SECTION 定义板厚，DSLOAD 施加均布载荷，固定端用 *BOUNDARY, ENCASTRE。

Nastran: CQUAD8壳单元 + PSHELL 定义板厚和材料。PLOAD2 施加面压载荷。SPC1 施加固定约束。

Ansys: SHELL281（8节点壳单元）。SECTYPE,1,SHELL 定义截面，SFE 施加面压载荷。

CalculiX: SHELL SECTION（相当于S8）。兼容Abaqus输入。载荷用 DLOAD 施加面压。

Abaqus的S8R默认采用Reissner-Mindlin理论（考虑剪切变形）。在薄板极限下会渐近于Kirchhoff理论。Nastran的CQUAD8也类似。求解器并非自动切换，而是单元公式本身基于厚板理论，在薄板情况下自然表现出Kirchhoff理论的行为。