线性座屈（特征值座屈）分析
线性座屈（特征值座屈）的理论基础
概要
老师，"线性座屈分析"和"特征值座屈分析"是同一样东西吗？
是同一样东西。在有限元法的背景下，"线性座屈分析"（linear buckling analysis）、"特征值座屈分析"（eigenvalue buckling analysis）、"线性化前座屈分析"（linearized pre-buckling analysis）都指同一种方法。以参考状态的应力构造几何刚性矩阵，求解特征值问题得到座屈荷载系数。
这是我们在欧拉座屈中学过的 $([K] + \lambda [K_\sigma])\{\phi\} = \{0\}$ 吗？
完全正确。欧拉座屈是针对"柱"这种特定结构的讨论，而特征值座屈分析是一种通用方法，可以应用于板、壳、框架，乃至这些结构的组合体。
特征值座屈分析的数学结构
能更详细地解释一般公式吗？
分两个步骤。
步骤 1：以参考荷载 $\{F_{ref}\}$ 进行静力学分析，求得应力分布 $\{\sigma_{ref}\}$ ：
步骤 2：根据所得应力构造几何刚性矩阵 $[K_\sigma]$ ，求解特征值问题：
$\lambda_i$ 是座屈荷载系数，$\{\phi_i\}$ 是模式形状。如果 $\lambda_1 = 3.5$ ，那就是在参考荷载的3.5倍时发生座屈。
这就是为什么叫"线性"座屈分析呢。
正是。这个"线性性假设"既是线性座屈分析的本质局限，也是其计算速度快的源泉。
为什么是特征值问题
为什么座屈可以定义为特征值问题呢？
这是个深刻的问题。座屈是"荷载增加到某点后，变形状态突然从一种模式过渡到另一种模式"的现象。从数学上讲，这称为平衡路径的分岔（bifurcation）。
如果将荷载记为 $\lambda \{F_{ref}\}$ 的形式，那整体刚性矩阵就变成 $[K_0] + \lambda [K_\sigma]$ 。这里 $[K_\sigma]$ 是参考应力对应的几何刚性，其值与 $\lambda$ 成正比。当这个全局刚性矩阵变为奇异（行列式为零）时，就是分岔点，此时的 $\lambda$ 就是座屈荷载系数。
$[K_0] + \lambda [K_\sigma]$ 的行列式为零的 $\lambda$ 就是要找的特征值。这就变成了特征值问题的形式！
完全正确。这与振动分析的 $([K] - \omega^2 [M])\{\phi\} = \{0\}$ 数学结构完全相同。振动中 $[M]$ 的位置换成了座屈的几何刚性 $[K_\sigma]$ 。
几何刚性矩阵的物理意义
$[K_\sigma]$ 的物理意义是什么呢？
$[K_\sigma]$ 表示"当前应力状态对微小位移扰动做功有多大"。在压缩应力下，如果横向稍微弯曲一下，压缩力会朝着增大弯曲的方向做功。这表现为负刚性的形式。
具体来说，对于受轴力 $N$ 的梁单元，如果发生微小横向弯曲 $\delta v$ ，轴力做功约为 $N \cdot (\delta v')^2 / 2$ 。这种"应力引起的附加做功"被矩阵化后就成了 $[K_\sigma]$ 。
压缩（$N < 0$）时刚性减小，拉伸（$N > 0$）时刚性增大。这就是为什么拉伸构件不会座屈。
直觉是对的。不过有一点注意：像预应力缆索那样的拉伸构件，在某些情况下（本质上是拉伸构件的横向座屈，接近于横向振动现象）也可能出现座屈问题。基本上要记住"压缩应力是座屈的驱动力"就可以了。
线性座屈分析的前提条件和限界
线性座屈分析什么时候能给出"正确答案"呢？
满足以下前提条件时信度最高：
1. 座屈前的变形很小 — 结构形状实际上没有改变
2. 材料处于弹性范围 — 座屈点没有屈服
3. 荷载呈比例关系 — 所有荷载以相同比率增减
4. 初始不整很小 — 与理想形状的偏差可以忽略
不满足这些条件的情况会怎样？
线性座屈分析的结果会是非保守估计（高估实际承载力）。具体高估多少取决于结构类型：
| 结构类型 | 线性座屈的信度 | 实际失效荷载/线性座屈荷载 |
|---|---|---|
| 柱（整体座屈） | 高 | 0.85 ~ 1.0 |
| 平板（面内压缩） | 较高 | 0.7 ~ 0.95 |
| 圆筒壳（轴向压缩） | 极低 | 0.2 ~ 0.5 |
| 加肋板 | 中等 | 0.5 ~ 0.9 |
圆筒壳竟然会下降到五分之一？
这就是为什么对圆筒壳的座屈设计，仅用线性座屈分析是不够的。必须做包含初始不整的非线性分析。而柱的整体座屈，线性分析能给出相当准确的估计。所以，要根据结构类型来理解"线性分析的可信度"。这对实务来说极其重要。
总结
总结一下线性座屈分析的理论…
线性座屈分析是个"初步筛选工具"而非"最终答案"，这个认识很重要呢。
正是这样。在设计初期快速找到危险部位时最好用。但最终设计是否合格，还要看结构的不整敏感性。
线性座屈分析的起源与Hertz接触
线性座屈分析（特征值座屈分析）在FEM时代之前的1950～60年代就已作为矩阵特征值问题被理论化了。Turner和Clough（1960年）将FEM应用于结构分析之后，Martin（1965年）引入了几何刚性矩阵，线性座屈FEM由此诞生。Nastran（1968年）首次将其商用化。
线性座屈（特征值座屈）的数值计算方法
特征值求解器的内部动作
具体怎么求解 $([K_0] + \lambda [K_\sigma])\{\phi\} = \{0\}$ 这个方程呢？
这是广义特征值问题。座屈的情况，标准形变换为：
$[K_0]$ 是正定对称矩阵（在适当约束下），$[K_\sigma]$ 是对称但不定值矩阵。针对这种结构有几种高效算法。
Lanczos法
听说实务中Lanczos法是标准。为什么？
Lanczos法是针对大规模稀疏矩阵特征值问题的专门算法，不需要求所有特征值，只需要高效地提取指定范围内的特征值。座屈分析只关心较小的特征值（下位数个模式），这正是Lanczos法的优势。
算法骨架是这样的：
1. 选定初始向量 $\{q_1\}$
2. 重复计算矩阵向量乘积 $[K_0]^{-1}[K_\sigma]\{q_j\}$
3. 用Gram-Schmidt正交化构造三对角矩阵 $[T]$
4. $[T]$ 的特征值是原问题的特征值近似
5. 迭代到收敛为止
直接计算 $[K_0]^{-1}$ 的话，不会变成巨大的稠密矩阵吗？
好问题。$[K_0]^{-1}$ 不是显式计算的。而是求解线性方程 $[K_0]\{x\} = [K_\sigma]\{q_j\}$ 。这样就能保持 $[K_0]$ 的稀疏性。事先对 $[K_0]$ 做LU分解（或LDLT分解），每次迭代就可以用前向后向代入来快速求解。
那LU分解是最耗时的步骤，之后的迭代相对较快，对吧。
完全正确。所以特征值问题的计算成本主要集中在矩阵分解。这与静力学分析的成本大致相同。也就是说线性座屈分析通常只需静力学分析的1.5～2倍计算时间。
移位反演Lanczos法
如果特征值集中在某个特定值附近呢？
那就用移位反演Lanczos法来重点搜索：
如果把移位量 $\sigma$ 设为座屈荷载的预估值，那么那附近的特征值就能高精度求出来。
实务中常见的做法是：先用无移位求出粗特征值，然后针对特定模式设定移位再精细求解。Nastran的EIGRL卡的V1、V2参数可以指定特征值搜索范围，Abaqus也有类似功能。
子空间迭代法
除了Lanczos法还有其他方法吗？
还有子空间迭代法（Bathe法）也在使用。特别是特征值密集时，有时比Lanczos法更稳健。
两种方法的特点对比：
| 特性 | Lanczos法 | 子空间迭代法 |
|---|---|---|
| 大规模问题效率 | 很高 | 较低 |
| 内存使用 | 少 | 多（需保持子空间） |
| 处理密集特征值 | 较差 | 较好 |
| 实现复杂度 | 高 | 中等 |
| 并行化容易度 | 中等 | 容易 |
Abaqus手册里有"subspace"和"lanczos"两个选项，通常lanczos就够了吧。
99%的情况下Lanczos是对的。改用子空间法通常是Lanczos收敛困难（少见）时的备选方案。
几何刚性矩阵的计算细节
$[K_\sigma]$ 的具体组建方式能细说吗？
以壳单元为例说。一个处于膜应力状态 $\{N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}\}$ 的壳单元，其几何刚性是：
其中 $[G]$ 是将节点位移微分到空间来获得旋转增量的矩阵，$[S]$ 是应力分量矩阵。
$[S]$ 中是膜应力 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$，对吧。拉伸应力占主导的话 $[K_\sigma]$ 是正的，整体刚性增大…座屈难…；反之压缩占主导就是负的，刚性减小…容易座屈。
很好的理解。有趣的是，单纯的面内剪切应力 $N_{xy}$ 也能引发座屈。这叫剪切座屈，在飞机机翼腹板、I梁腹板等地常见。
计算效率优化技术
大规模模型的座屈分析要快速完成，有什么技巧吗？
几个技巧：
- 超单元（部分结构法） — 对重复结构（如飞机肋骨）进行缩约减少自由度。Nastran SOL 105中常用
- 分量模式合成（CMS） — 用模态坐标表示部分结构。著名的有Hurty-Craig-Bampton法
- 对称条件活用 — 利用几何和荷载对称性只建1/2或1/4模型。但要注意反对称座屈模式被遗漏的风险
反对称座屈模式被遗漏？
比如对称面设置z方向位移为零，就只能出对称模式。反对称模式要在单独的对称面边界条件下（z自由、x旋转约束等）才能出现。用对称条件时必须对称、反对称都要解，这是原则。
总结
座屈求解器的内部，有点清楚了。
要点总结：
- Lanczos法是实务标准 — 大规模稀疏矩阵最优，成本约为静力学分析的1.5～2倍
- 核心是矩阵分解 — LU/LDLT分解是最大瓶颈
- 移位反演来精细探测 — 处理特征值密集的情况
- $[K_\sigma]$ 依赖应力状态 — 膜力、弯矩、剪切都对座屈有贡献
- 对称条件用时注意反对称模 — 必须两个都求
座屈特征值的计算步骤和模式确认
线性座屈分析分为三步：①进行线性静力分析取得应力②根据应力计算几何刚性矩阵Kg③求解(K+λKg)φ=0的特征值问题。特征值λ是安全系数。λ=1.0是临界点（设计荷载下座屈），很多设计规范要求λ≥2.0。关键是不仅要看最小特征值，还要看第2、3模式，从模式形状判断实际的座屈形态，这样才能做出设计判断。
线性座屈（特征值座屈）的实务应用
特征值座屈分析的实务工作流程
在实际设计中怎样用特征值座屈分析呢？
要根据设计阶段来用。差异很大。
| 设计阶段 | 座屈分析的角色 | 精度要求 |
|---|---|---|
| 概念设计 | 候选断面的筛选 | 低（数量级确认） |
| 基本设计 | 座屈荷载系数确认、危险部位特定 | 中（10%精度） |
| 详细设计 | 为非线性分析提供模式形状 | 高（网格收敛确认） |
| 设计验证 | 规范准合的座屈检查 | 高（第三方可审核） |
概念设计要快速，详细设计要接近现实，对吧。
是的。线性座屈分析有两种用法：直接用于设计决策，或者作为非线性分析的前阶段。后者典型做法是取座屈模式形状作为初始不整来进行非线性分析。
参考荷载的设置
参考荷载 $\{F_{ref}\}$ 怎样确定？
初学者往往这里困惑。座屈荷载系数 $\lambda$ 是相对于参考荷载的倍数，所以参考荷载换了 $\lambda$ 也就换了。但临界荷载 $P_{cr} = \lambda \times P_{ref}$ 始终是同一值。
比如参考荷载100 kN、$\lambda = 3.0$ 就是临界荷载300 kN。参考荷载改成300 kN的话 $\lambda = 1.0$，同样是300 kN。
完全正确。实务上最便利的做法是设计荷载（使用荷载）作为参考荷载。这样 $\lambda > 1.0$ 说明设计荷载不会座屈， $\lambda < 1.0$ 说明会座屈。直接跟设计规范的安全系数对比。
要求安全系数3.0时，$\lambda > 3.0$ 才合格，对吧。
原则上是这样。但要记住线性座屈是上界值的前提。不整敏感性高的结构还要乘以更多折减系数。
复合荷载的处理
实际结构是自重、外压、风荷等多种荷载同时作用。这怎样处理？
这是线性座屈分析的重要限制。默认所有荷载等比例变化，不适用于独立变化的多个荷载。
有三种对策：
1. 多个荷载合并为一个参考荷载 — 最简单，但荷载比例固定
2. 按荷载分别进行座屈分析 — 各荷载独立时
3. 改变荷载比例参数化求解 — 荷载比可变时最准确
"自重一定，只有风荷载变化"的情况呢？
那就用预加载+座屈的方法。先做自重的静力分析（预加载），再基于那个应力状态分析风荷的座屈。Nastran的SOL 105里STATSUB + BUCKLE子情形组合就是这个。Abaqus的话是Static步后加Buckle步。
预加载的应力反映在 $[K_0]$ 里，然后对新增荷载的座屈进行评价…
模式形状的读取
座屈荷载系数的数字只是一部分，模式形状也很重要吧。读什么？
从模式形状能看出座屈的物理机制。检查点：
1. 座屈类型的辨别
- 整体座屈 — 部材整体横向倾倒。柱的整体座屈、梁的横向座屈等
- 局部座屈 — 翼缘或腹板一部分波浪。板座屈的一种
- 失稳座屈（distortional） — 截面形状改变。薄壁冷弯型钢常见
2. 变形集中的部位
- 座屈变形最大的地方 = 需要补强的地方
- 边界条件附近有座屈的话，检查边界的固定度是否合理
3. 模式间的差异
- 1次和2次模式形状相似，则有模式相互作用可能
- 1次是局部座屈、2次是整体座屈，则局部座屈对策优先
只看数字不看形状太危险了。座屈荷载系数的数值、的物理的意味大事的。
太对了。$\lambda = 5.0$ 看起来很安全，但模式形状是局部板波，网格粗会遗漏真实的局部座屈。网格细化后 $\lambda$ 急剧下降到1.2，这样的例子很常见。
设计规范的对应
建筑和土木设计规范怎样用座屈分析结果？
规范扱異：
| 设计規範 | 座屈的扱 | 固有値分析的位置 |
|---|---|---|
| 欧州基準3 (EN 1993) | 柱曲線(α係数)耐力低減 | 弾性座屈荷重 $N_{cr}$ 的算定使用 |
| AISC 360 | 第E章(圧縮材)座屈応力評価 | 有効座屈長的確認補助的使用 |
| AIJ鋼结构设计規準 | 座屈耐力式許容応力度算定 | FEM的固有値分析验证用 |
| ECSS-E-HB-32-24A (宇宙) | 適用 | 必須。理想座屈荷重的出発点 |
欧州基準3固有値 $N_{cr}$ 出、柱曲線低減方法明示。
。欧州基準3的6.3.4「一般的方法」、FEM的弾性座屈分析直接使座屈耐力評価。最。
实务检查清单
座屈分析的結果提出的检查清单。
「形状的可視化」最重要感。数字座屈的本質。
的通。座屈分析的価値$\lambda$ 値、形状読取物理。単「$\lambda$ 何倍」報告、分析意味半分。
集装箱船舱盖的座屈设计
集装箱船舱盖（钢制，25×13m）受波浪、集装箱荷载、积雪的作用，線性座屈分析是不可欠的。IACS（国际船级协会联盟）规定座屈安全系数λ≥1.5，特局部座屈（腹板座屈）λ≥1.0。三菱重工業1990年代後半FEM線性座屈舱盖全部材適用、设计工程30%短縮。
线性座屈（特征值座屈）的软件比较
主要求解器的特征值座屈功能
各求解器座屈分析的設定方法随分違？
基本的考方（静分析→固有値分析的2段階）同、設定的書方結構違。求解器見。
Nastran（SOL 105）详解
Nastran的 SOL 105 少詳教。
Nastran的線形座屈SOL 105、Executive Control Case Control 的組合設定。
```
$ Executive Control
SOL 105
$ Case Control
SUBCASE 1
SUBTITLE = Static Preload (Dead Load)
SPC = 100
LOAD = 200
STRESS(PLOT) = ALL
SUBCASE 2
SUBTITLE = Buckling under Live Load
SPC = 100
LOAD = 300
METHOD = 10
STATSUB(PRELOAD) = 1
```
STATSUB(PRELOAD) = 1 、案例1的応力取込。
付座屈分析的。自重恒荷重案例1与、変動荷重（風荷重）的座屈案例2評価。METHOD = 10 EIGRL 参照、固有値求解器的設定（数、方法）指定。
Nastran的座屈分析注意：
- PARAM,BUCKLE,2 — 新有効化。古（BUCKLE,1）高精度
- EIGRL 的 ND 参数 — 求数。最低10推奨
- PARAM,POST,-1 — 結果（op2）形状書出
- 差分剛性法 vs. 荷重法 — Nastran的内部実装結果微妙変
Abaqus（*BUCKLE）詳解
Abaqus的設定？
Abaqus2的順設定：
```
*STATIC
*CLOAD
node_set, 2, -1000.0
**
** 2: 座屈分析
*STEP
*BUCKLE
15, , , ,
*CLOAD
node_set, 1, -500.0
*END STEP
```
*BUCKLE 的最初的数字求数、的後的何？
eigensolver, number_of_vectors, max_iterations, blocksize 的順。的 Lanczos 通常問題。法使明示的指定。
Abaqus的：
- 、Buckle的直前Static、的応力自動的使
- 出力 — 形状
.odb書出。$\lambda$.dat記載 *NODE FILE, GLOBAL=YES— 形状初期不整使場合.fil的出力必要- 負的固有値 — 正負両方的固有値出。正的最小値読
Ansys（Eigenvalue Buckling）詳解
Ansys的Workbench中的設定手順教。
Workbench的手順直感的：
1. Static Structural 配置、荷重境界条件設定
2. Eigenvalue Buckling 追加、Static Structural
3. Eigenvalue Buckling 的設定 Max Modes to Find 10～20設定
4. 分析実行
5. Total Deformation 形状確認、Load Multiplier $\lambda$
WorkbenchGUI操作。APDL？
APDL的場合：
```
! 1: 静分析
/SOLU
ANTYPE, STATIC
PSTRES, ON ! 応力剛性有効化（重要！）
SOLVE
FINISH
! 2: 座屈分析
/SOLU
ANTYPE, BUCKLE
BUCOPT, LANB, 15 ! Lanczos法15
MXPAND, 15 ! 15結果展開
SOLVE
FINISH
```
注意事项: APDL PSTRES, ON 忘応力剛性计算、座屈分析無意味結果出。Workbench自動的ON、APDL手動指定必要。非常。
三求解器结果对比
同模型3的求解器解、同結果出？
理想的同、実際微妙異。要因：
| 差異的要因 | 影響度 | 説明 |
|---|---|---|
| 要素定式化的違 | 小～中 | 同「4節点」内部定式異 |
| 幾何剛性的構成法 | 小 | 応力的内挿方法点的違 |
| 固有値求解器的 | 極小 | Lanczos系差 |
| 网格的解釈 | 小～中 | 同网格数据時差出 |
数%程度的差「正常」。
。基准测试問題（NAFEMS的標準問題）5%以内的一致得十分。10%以上、模型的解釈差可能性疑。的際、形状同視覚的確認、的上 $\lambda$ 的値比较。
OptiStruct的座屈优化
Altair OptiStruct座屈何特別機能？
OptiStruct的最大的特徴座屈制約付优化対応。通常的优化剛性最大化目的、OptiStruct「座屈荷重係数 $\lambda$ 指定値以上」制約追加。
座屈考慮軽量化设计。
的通。薄肉结构的軽量化、材料削座屈。座屈制約付优化的自動解。航空宇宙自動車的设计特有用。、座屈固有値的感度计算数値的不安定的、计算参数的調整必要。
选型指南
座屈分析中心考、的求解器選？
判断的：
- 大規模航空宇宙 → Nastran SOL 105 的信頼性実績圧倒的
- Workbench完結设计業務 → Ansys Eigenvalue Buckling 最手軽
- 座屈後的非線形分析連携 → Abaqus 的 BUCKLE → IMPERFECTION → *STATIC, RIKS
- 座屈制約付优化 → OptiStruct
座屈分析的求解器大差、的後的使方（非線形的連携、优化的連携）差。
的通。座屈分析自体的求解器成熟技術。差別化要因流程全体的効率。
Simcenter Nastran的高速座屈求解器
Siemens Simcenter Nastran大規模線形座屈（SOL 105）100万DOF100固有値使用数時間以内计算。自動車車体的軽量薄板的座屈分析500万DOF模型対固有値50個1夜出力2020年代確認。Lanczos法的並列化効率他的商用代码高设计者評価。
线性座屈（特征值座屈）的先进研究
特征值座屈的先进应用方法
座屈分析基本的方法思、発展的余地？
方法自体1960年代確立、使方解釈的方法大研究的余地。特以下的3的方向活発。
連続体基座屈（Continuum-Based Buckling）
従来的座屈分析何違？
従来的FEM的座屈分析、離散化行列的固有値問題解。一方、連続体基座屈微分方程式座屈条件記述、連続的座屈場求。
具体的、的座屈 Donnell 方程式 Sanders-Koiter 方程式数値的解。FEM的離散化誤差「連続体的座屈荷重」得。网格依存性点大利点。
、複雑形状適用？
。現状回転（円筒、円錐、球）的単純形状対象。、不整敏感性高结构、FEM的网格依存性問題结构。補完的使効果的。
灵敏度分析和座屈优化
座屈荷重対设计参数的感度、计算？
座屈的固有値 $\lambda$ 的设计変数 $s$ 対感度、随伴法（adjoint method）効率的计算：
形状 $\{\phi\}$ 、追加的固有値分析感度计算。
的通。座屈优化的基盤。板厚0.1 mm変 $\lambda$ 変…的感度情報使勾配法优化回。
落穴。固有値近接（）、感度不連続。的入替（mode switching）起、优化振動的。
対処？
対策：
- MAC（Modal Assurance Criterion）追跡 — 优化的各反復的対応追跡
- 座屈优化 — 最悪案例的固有値目的関数
- 集約関数（KS関数） — 複数的固有値滑1的関数总结：
KS関数「最小固有値微分可能」関数。巧妙。
GBT（Generalized Beam Theory）的联动
薄板冷間成形鋼特殊座屈聞？
歪座屈（distortional buckling）。薄板溝形鋼Z形鋼、断面形状自体変座屈。
一般化梁理論（GBT）、薄肉断面的座屈「変形」分解分析方法：
- 1 — 軸変形
- 2～4 — 曲（古典的梁理論的）
- 5以上 — 歪（断面的変形）
FEM全混出的対、GBT分離理解。
。GBT的大利点座屈的参加度（modal participation）。例「的座屈60%歪座屈、30%全体曲座屈、10%座屈」定量化。设计的判断非常有用。
的GBTUL（大学開発）CUFSM（大学開発、有限法）手軽試。设计代码（代码3、AISI S100）的DSM（Direct Strength Method）直結。
概率论座屈评估
初期不整的考慮座屈評価？
従来的決定論的座屈評価（）代方法、確率論的座屈評価注目。
手順：
1. 実结构的初期不整測定（等）、統計的特性抽出
2. 仿真多数的不整生成
3. 各対非線形座屈分析実施
4. 座屈荷重的分布（平均標準偏差信頼区間）評価
何百回非線形分析回…计算。
座屈分析使？
模型的入力変数设计段階使。座屈分析的形状初期不整的基底利用、各的振幅変数。座屈分析「不整的」的道具活躍。
未来展望
座屈分析的今後変？
3的方向見：
- 座屈評価 — ROM（縮約模型）座屈分析瞬時计算。结构健全性監視
- AI支援的座屈判定 — FEM的座屈結果不整敏感性的「補正」AI自動付与
- 等幾何分析（IGA）的座屈 — CAD完全一致形状中的座屈分析。网格依存性的本質的排除
1960年代確立方法、AIIGA新命吹込。
座屈分析「古方法」侮。座屈問題的、分類、优化的勾配情報、確率論的分析的基底…的前沿方法座屈分析組込。基础、応用広。
確率論的線形座屈感度分析
结构的不整（製造誤差材料）座屈荷重与影響確率論的評価「確率論的座屈分析」2010年代確立。法1000案例的材料形状与FEM座屈分析繰返、5座屈荷重（統計的下限値）设计荷重使。宇宙的軽量化设计重量15%削減達成事例報告。
线性座屈（特征值座屈）的故障对应
特征值座屈分析的典型故障
座屈分析回、結果的対処法教。
座屈特有的故障整理。欧拉座屈的故障違、座屈分析的問題。
特征值为零或近零且大量出现
座屈分析的結果、固有値 0.001 0.0002 、的値大量出…。