衝撃解析（落下・衝突）
理论与物理
冲击分析基础
老师，冲击分析与通常的动态分析有什么不同？
冲击是在极短时间内（$\mu s \sim ms$）作用巨大力量的现象。其时间尺度与通常的振动分析相差数个数量级。
冲击的分类
| 种类 | 时间尺度 | 示例 | 分析方法 |
|---|---|---|---|
| 低速冲击 | 1〜100 ms | 跌落、车辆碰撞 | 显式FEM |
| 高速冲击 | 0.1〜1 ms | 弹道冲击、工具碰撞 | 显式FEM＋SPH |
| 超高速冲击 | < 0.1 ms | 太空碎片、爆炸 | SPH, ALE |
| 冲击波 | $\mu s$ | 爆炸冲击波、水下爆炸 | ALE, 欧拉法 |
根据时间尺度，分析方法会改变呢。
低速冲击用通常的显式FEM就足够了。速度变高时单元会发生大变形，就需要SPH（光滑粒子流体动力学）或ALE法。
冲击力学
冲击的基本参数：
- 冲击速度 $v$ — 动能 $E_k = mv^2/2$
- 冲击时间 $\Delta t$ — 从接触到分离的时间
- 峰值力 $F_{max}$ — 冲击力的最大值
- 冲量 $I = \int F dt \approx m \Delta v$ — 动量的变化
能用能量守恒来估算冲击结果吗？
假设 $E_k = mv^2/2$ 全部转化为变形能，则：
将FEM结果与此估算值比较，可作为合理性检查。
FEM中的冲击分析
在显式FEM中：
1. 建模冲击体（冲击器）（刚体或变形体）
2. 建模被冲击体（壳/实体单元 + 材料非线性）
3. 定义接触（罚函数法）
4. 设置初始速度
5. 执行瞬态分析
6. 评估力-时间、变形-时间、能量-时间关系
总结
要点：
- 冲击是短时间内巨大力量 — $\mu s \sim ms$ 量级
- 显式FEM是标准 — LS-DYNA, Abaqus/Explicit
- 高速冲击用SPH/ALE — 避免单元大变形
- 用能量守恒进行估算检查 — $E_k = mv^2/2$
- 力-时间曲线和变形模式是主要结果
冲击作为波动传播的本质
固体中的冲击以弹性纵波（P波）形式以声速c₀＝√(E/ρ)传播。钢材中c₀≈5000m/s，应力波穿过100mm的构件仅需20μs。1950年代Kolsky整理的一维波动传播理论至今仍是霍普金森杆试验的分析基础，作为应变率10³〜10⁴/s的材料特性评价不可或缺的方法被利用。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体向前冲的经验吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，那是“缓慢施力所以加速度可忽略”的假设。冲击载荷或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形性”，强度是“不易破坏性”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直响吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会那样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
冲击分析设置
请告诉我冲击分析的具体FEM设置。
LS-DYNA
```
*KEYWORD
*CONTROL_TERMINATION
0.010 $ 10 ms
*CONTROL_TIMESTEP
0.0, 0.9 $ dt安全系数0.9
*INITIAL_VELOCITY_SET
1, 0., 0., -5000. $ 5 m/s 向下（mm/s单位）
*CONTACT_AUTOMATIC_SURFACE_TO_SURFACE
1, 2
```
Abaqus/Explicit
```
*STEP, NAME=impact
*DYNAMIC, EXPLICIT
, 0.010 $ 10 ms
*INITIAL CONDITIONS, TYPE=VELOCITY
impactor, 1, 0.
impactor, 2, 0.
impactor, 3, -5.0 $ 5 m/s
*CONTACT
...
*END STEP
```
设置初始速度后，剩下的就由求解器追踪接触和变形对吧。
显式法是“给定情况，追踪物理”的方法。用户只需定义初始条件（速度、位置）和接触。结果会根据物理定律自动得出。
网格尺寸指南
冲击分析的网格尺寸：
| 对象 | 单元尺寸 |
|---|---|
| 接触面（冲击部位） | 1〜5 mm |
| 远处 | 5〜20 mm |
| 冲击器（刚体） | 可以粗 |
接触面细，远处粗。
接触的分辨率直接关系到结果。冲击点周围需要1〜2 mm的单元。但细化后$\Delta t$也会变小，需平衡计算成本。
总结
忽略应变率依赖性的设计是危险的
钢铁材料的屈服应力在应变率10³/s时比准静态（10⁻³/s）增加1.3〜2倍（Cowper-Symonds法则）。LS-DYNA的MAT_003中可用D·n参数表示速度依赖性，软钢中D＝40.4、n＝5.0是广泛使用的标准值。在汽车保险杠碰撞分析中忽略此速度效应，多个研究报告称变形量会被高估20〜40%。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2〜3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉夫森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉夫森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略答案，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）更高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2次单元是“柔性曲线”——能表现曲线变化，即使相同网格密度精度也大幅提高。但每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
冲击分析实务
冲击分析的主要应用：
| 应用 | 标准 | 条件 |
|---|---|---|
| 智能手机跌落 | 公司内部标准 | 1.5 m跌落，混凝土表面 |
| 电子设备跌落 |