Johnson-Cook構成則
理论与物理
Johnson-Cook本构模型是什么
老师，Johnson-Cook本构模型是什么？
Johnson-Cook（JC）模型（1983年）是依赖于应变速率和温度的弹塑性+延性断裂模型。在冲击和碰撞的金属变形与断裂分析中应用最广泛。
本构方程
流动应力：
- $A$ — 屈服应力
- $B, n$ — 应变硬化系数和指数
- $C$ — 应变速率敏感系数
- $m$ — 温度软化指数
- $\dot{\varepsilon}^* = \dot{\varepsilon}/\dot{\varepsilon}_0$ — 无量纲应变速率
- $T^* = (T-T_{room})/(T_{melt}-T_{room})$ — 无量纲温度
三个因子（硬化×速率×温度）的乘积！
简单但实用。五个参数（$A, B, n, C, m$）就能在很宽的范围内描述金属的高速变形行为。许多金属的JC参数已在文献中报道。
JC断裂准则
延性断裂的等效塑性应变：
$\eta = \sigma_m / \sigma_{vm}$ 是应力三轴度。$D_1 \sim D_5$ 是断裂参数。
断裂应变随应力三轴度 $\eta$ 变化。拉伸（$\eta > 0$）时呈脆性，剪切（$\eta \approx 0$）时呈延性。
总结
要点：
- $\sigma = (A+B\varepsilon^n)(1+C\ln\dot{\varepsilon}^)(1-T^{m})$ — 硬化×速率×温度
- 5个材料常数 — 许多金属有文献值
- JC断裂准则 — 应力三轴度依赖的延性断裂
- 冲击和碰撞分析的标准模型 — LS-DYNA MAT_15, Abaqus PLASTIC＋DAMAGE
JC模型的提出年份
Gordon Johnson和William Cook于1983年发表的这个模型，以塑性应变、应变速率和温度的乘积形式表示应力。最初是为了整理美国陆军的弹道侵彻试验数据而开发的，论文发表后两年内，作为高速变形分析的标准材料模型被广泛采用。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有没有过急刹车时身体向前冲的经验？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢加载，加速度可忽略”的假设。但在冲击载荷或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用同样的力拉铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想施加“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化为热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项与换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入为mm时，载荷和弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm制时为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm制用N，m制也用N统一 |
数值解法与实现
LS-DYNA
```
*MAT_JOHNSON_COOK
$ A, B, n, C, m, Tmelt, Troom, eps0
350., 275., 0.36, 0.022, 1.0, 1793., 293., 1.0
```
Abaqus
```
*PLASTIC, HARDENING=JOHNSON COOK
A, B, n, m, Tmelt, Troom
*RATE DEPENDENT, TYPE=JOHNSON COOK
C, eps0
*DAMAGE INITIATION, CRITERION=JOHNSON COOK
D1, D2, D3, D4, D5, Tmelt, Troom
*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=DISPLACEMENT
u_f
```
Abaqus中塑性、速率依赖和断裂需要用三个定义来设置啊。
LS-DYNA用一张*MAT卡片搞定所有。Abaqus分开定义，更灵活但设置较多。
总结
5个参数的标定实验
Johnson-Cook的5个常数（A、B、n、C、m）是分阶段标定的。首先通过准静态试验确定A、B、n，然后通过分离式霍普金森杆试验（应变速率10²〜10⁴/s）确定C，通过加热试验确定m。Al6061-T6的典型值A=276MPa、B=406MPa、n=0.51、C=0.00519、m=1.0被广泛引用。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。建议：应力评估很重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。有效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也大幅提高。不过，每个单元的计算成本增加，需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
JC的实际应用
用于弹道冲击（防弹板侵彻）、金属高速切削、碰撞安全的金属断裂分析。
JC参数典型值
| 材料 | A (MPa) | B (MPa) | n | C | m |
|---|---|---|---|---|---|
| 软钢（AISI 1018） | 220 | 750 | 0.40 | 0.022 | 1.0 |
| Al 6061-T6 | 324 | 114 | 0.42 | 0.002 | 1.34 |
| Ti-6Al-4V | 1098 | 1092 | 0.93 | 0.014 | 1.1 |
实践检查清单
在鸟撞分析中的应用
飞机发动机风扇叶片鸟撞（Bird Strike）分析中，Ti-6Al-4V的Johnson-Cook参数是必需的。在FAR 33.76认证试验前的FEA验证中，主要使用LS-DYNA和Abaqus Explicit，已有多个案例在航空航天学会期刊上报道，能以±5mm精度预测200m/s撞击速度下的叶片尖端变形量。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论用多优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是不是认为“计算能跑通=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会对给定的网格返回“一个差不多的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实相差甚远。至少用三个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“计算机给出的答案肯定正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，和考试的“出题”是一样的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗？”“这个载荷真的是均匀分布吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
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