軸対称解析
理论与物理
轴对称问题是什么
老师，什么是“轴对称”分析？能用二维解决三维问题吗？
是的。当形状、材料、载荷、边界条件都关于旋转轴对称时，可以将三维问题简化为二维截面分析。这是在圆柱坐标系 $(r, \theta, z)$ 中假设 $\theta$ 方向没有变化。
什么样的结构是轴对称的？
实际上非常多：
- 压力容器 — 筒体、封头、喷嘴（周向均匀的情况）
- 法兰·螺栓 — 紧固件的轴向力分析
- 轴承 — 内圈·外圈·滚动体的接触
- 活塞·气缸 — 内燃机的压力分析
- 管道内压 — 厚壁圆筒的拉梅问题
- 旋转体 — 圆盘、飞轮、涡轮转子的离心力
在压力容器设计中是必须的呢。
ASME规范也认可轴对称分析用于压力容器。与对整个压力容器进行三维建模相比，轴对称截面分析能以低于百分之一的自由度获得同等甚至更高的精度。
控制方程
轴对称问题的应力分量有哪些？
在圆柱坐标系中存在四个应力分量：
平面应力和平面应变是3个分量，轴对称是4个分量吗？
是的。轴对称的特点是存在环向应力 $\sigma_\theta$。当 $r$ 方向有位移 $u_r$ 时，周向应变为：
$u_r / r$！只用位移除以半径就能得到应变呢。这是几何效应吗？
理解得很完美。半径为 $r$ 的圆周是 $2\pi r$，所以半径增加 $u_r$ 时，圆周变为 $2\pi(r + u_r)$。应变是 $\Delta L / L = u_r / r$。这个$1/r$ 项是轴对称分析的核心，是平面应力/应变所没有的特征。
本构关系
轴对称的胡克定律：
$$ \begin{Bmatrix} \sigma_r \\ \sigma_\theta \\ \sigma_z \\ \tau_{rz} \end{Bmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \varepsilon_r \\ \varepsilon_\theta \\ \varepsilon_z \\ \gamma_{rz} \end{Bmatrix} $$
和三维的胡克定律形式一样呢。虽然是4个分量，但实质上是三维的。
是的。轴对称是“外观二维，内在三维”。应力状态完全是三维的，$\sigma_\theta$ 不会为零（除了 $r = 0$ 处）。
厚壁圆筒（拉梅问题）
承受内压的厚壁圆筒有理论解吗？
拉梅问题（Lamé problem）是轴对称最基本的理论解。内半径 $a$, 外半径 $b$, 内压 $p$ 时：
$$ \sigma_r = \frac{p a^2}{b^2 - a^2} \left(1 - \frac{b^2}{r^2}\right) $$
$$ \sigma_\theta = \frac{p a^2}{b^2 - a^2} \left(1 + \frac{b^2}{r^2}\right) $$
在内表面（$r = a$）环向应力最大，向外表面逐渐减小。内表面受拉，越靠近外表面拉力越小。
内表面最大环向应力：
$$ \sigma_{\theta,max} = p \frac{a^2 + b^2}{b^2 - a^2} $$
轴对称的胡克定律：
和三维的胡克定律形式一样呢。虽然是4个分量，但实质上是三维的。
是的。轴对称是“外观二维，内在三维”。应力状态完全是三维的，$\sigma_\theta$ 不会为零（除了 $r = 0$ 处）。
承受内压的厚壁圆筒有理论解吗？
拉梅问题（Lamé problem）是轴对称最基本的理论解。内半径 $a$, 外半径 $b$, 内压 $p$ 时：
在内表面（$r = a$）环向应力最大，向外表面逐渐减小。内表面受拉，越靠近外表面拉力越小。
内表面最大环向应力：
薄壁（$b \approx a$）情况下，趋近于 $\sigma_\theta \approx pD/(2t)$（薄壁圆筒公式）。这是验证FEM轴对称分析的最佳基准问题。
总结
我来整理一下轴对称分析的理论。
要点：
- 形状·载荷·材料旋转对称则可用二维求解 — 自由度降至百分之一以下
- 四个应力分量 — $\sigma_r, \sigma_\theta, \sigma_z, \tau_{rz}$。环向应力 $\sigma_\theta$ 是其固有特征
- $\varepsilon_\theta = u_r / r$ — 几何性的周向应变
- 实质三维的应力状态 — 外观二维但内在三维
- 用拉梅问题验证 — 厚壁圆筒内压是最佳基准
在压力容器设计中，轴对称分析是必选项呢。用三维分析百分之一的成本就能获得同等精度。
没错。但是，存在非轴对称载荷（喷嘴载荷、地震载荷）或非轴对称形状（孔洞、不连续部位）时，则需要三维分析。先用轴对称进行筛选，只对需要的部分进行三维详细分析，是高效的方法。
轴对称的历史起源
轴对称分析的理论基础可追溯到19世纪50年代G.B.艾里引入应力函数。20世纪60年代，Clough & Rashid 提出了环形单元的公式化，将浮点运算次数减少到三维分析的约十分之一。至今仍是压力容器和核反应堆安全壳设计中的常用方法。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是假设“缓慢施力，加速度可忽略”。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形”，强度是“不易破坏”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在三维空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他的弦试试。声音会一直响吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置合适的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm制时为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm制用N，m制也用N统一 |
数值解法与实现
基于FEM的轴对称分析
轴对称的FEM单元有什么特点？
轴对称单元是 $(r, z)$ 平面上的二维单元，但其内部公式化包含$2\pi r$ 的权重。这对应于将单元绕旋转轴旋转一周的体积。
单元的公式化
轴对称单元刚度矩阵的积分：
平面问题中的 $t$（板厚）被替换为 $2\pi r$（周长）。
$r = 0$（旋转轴上）时 $2\pi r = 0$，没问题吗？
非常好的问题。$r = 0$ 处的积分具有奇异性。实际实现中采用以下处理：
- 高斯积分点不配置在 $r = 0$ 上（积分点在单元内部）
- 在 $r = 0$ 上的节点处，$\varepsilon_\theta = u_r / r$ 变为 $0/0$，但根据洛必达法则可得 $\varepsilon_\theta = \varepsilon_r$
- 实用上没有问题，但在 $r = 0$ 附近使用非常细密的网格时，有时会出现数值不稳定
各求解器对应的单元名称
| 单元 | Nastran | Abaqus | Ansys |
|---|---|---|---|
| 4节点四边形 | CQUADX4 / CTRIAX | CAX4, CAX4R, CAX4H | PLANE182 (KEYOPT3=1) |
| 8节点四边形 | CQUADX8 | CAX8, CAX8R | PLANE183 (KEYOPT3=1) |
| 3节点三角形 | CTRIAX6 | CAX3 | PLANE182（退化） |
Abaqus的CAX是“Continuum AXisymmetric”的缩写呢。CPS是平面应力，CPE是平面应变，CAX是轴对称。
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