20節点六面体要素(HEX20)
理论与物理
HEX20 — 最高精度的三维单元
HEX20是FEM三维单元中精度最高的吗？
作为实用单元，可以说是最高精度。20节点的二次六面体单元，每个节点3个自由度，总计60个自由度。是HEX8（24自由度）的2.5倍DOF，但精度要高出一个数量级。
形状函数
HEX20拥有8个顶点节点和12个边中点节点。形状函数为三次曲面（serendipity）型：
顶点节点：
边中点节点（例: $\xi_i = 0$）：
Serendipity型是什么？和Lagrange型不同吗？
Lagrange型（27节点HEX）在面和内部也有节点，而Serendipity型（20节点HEX）仅在边上有中间节点，面和中心及内部没有节点。Serendipity型DOF较少，但精度与Lagrange型几乎相当，实用上Serendipity型占绝大多数。
HEX20的精度
HEX20的准确度如何？
与TET10比较：
| 相同DOF数下的精度 | HEX20 | TET10 |
|---|---|---|
| 位移 | 非常高 | 高 |
| 应力 | 非常高 | 高 |
| 效率（每DOF精度） | 最高 | HEX20的50〜70% |
收敛速度：
- 位移: $O(h^4)$（HEX20）vs. $O(h^3)$（TET10）
- 应力: $O(h^3)$（HEX20）vs. $O(h^2)$（TET10）
HEX20的收敛速度快一个阶数。即使网格粗一半也能达到同等精度…。
因此，对于能生成HEX网格的形状，HEX20是最有效的。问题在于网格生成的麻烦。这种"精度效率 vs. 网格生成成本"的权衡，是选择HEX20还是TET10的本质。
积分方案
HEX20的积分：
| 积分 | 高斯点 | 特征 |
|---|---|---|
| 完全积分（3×3×3） | 27 | 最高精度。剪切自锁风险低 |
| 减缩积分（2×2×2） | 8 | 避免剪切自锁。沙漏模式为1个 |
HEX20的减缩积分是2×2×2 = 8点吗。和HEX8的完全积分数相同。
是的。HEX20的减缩积分（C3D20R）使用与HEX8完全积分相同的8个积分点，却能提供高得多的精度。C3D20R被评价为三维FEM中最有效的单元之一。
C3D20R有沙漏问题吗？
HEX20的减缩积分仅存在1个沙漏模式。与HEX8R的12个相比极少，实用上几乎不成问题。但在单单元测试时需要注意。
何时使用HEX20
应该在什么场合使用HEX20？
反过来，HEX20不利的场合是？
总结
我来整理一下HEX20的理论。
要点：
- 20节点、Serendipity型、二次六面体 — 实用3D单元的最高精度
- C3D20R（减缩积分）最推荐 — 8个积分点，最高效率
- 收敛快 — 比TET10快一个阶数
- 网格生成是课题 — 自动HEX困难。适合扫掠/映射网格
- 大变形・显式解法不适用 — HEX8R或TET10更稳定
也就是说，HEX20是"如果能做出来就是最好的单元"对吧。
正是如此。"最高的精度"和"如果能做出来"之间存在网格生成的壁垒。对于能跨越此壁垒的工程师而言，HEX20是最强的武器。
二次六面体单元的理论优势
20节点六面体单元（Serendipity单元）是1966年由Ergatoudis等人提出的等参公式化的代表作。其形状函数包含完全二次多项式，在单元内具有比一次单元高近8倍的应力精度。自1970年代NASA阿波罗计划以来的航天器结构分析中被采用，曾被称为"黄金标准单元"。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即"质量×加速度"。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种"被带走的感觉"正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量"被落下"。静力分析中此项设为零，这是"因为缓慢施力所以加速度可忽略"的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到"想要恢复的力"吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种"不易伸长性"就是杨氏模量 $E$，决定了刚度。常见的误解："刚度高=强度高"是不对的。刚度是"不易变形性"，强度是"不易破坏性"，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是"作用在整个内容物上的力"（体积力），轮胎压路面的力是"仅作用在表面的力"（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想"拉伸"却变成了"压缩"——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小对吧。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点・换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷・弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
C3D20R — 最高效的3D单元
请告诉我C3D20R（Abaqus的HEX20减缩积分）被称为"最有效率"的理由。
有三个理由：
1. 精度/DOF比最高 — 相同DOF数下精度是TET10的2〜3倍
2. 无剪切自锁 — 通过减缩积分已避免
3. 体积自锁也轻微 — 直到 $\nu = 0.49$ 左右都无问题
原来推荐的是C3D20R（减缩积分）而不是C3D20（完全积分）啊。
C3D20使用27个积分点，计算成本高，且对于 $\nu$ 值大的材料可能出现体积自锁迹象。C3D20R使用8个积分点，计算更快，自锁也少。实际工作中C3D20R占压倒性多数。
各求解器对应的单元名称
| 变体 | Abaqus | Nastran | Ansys |
|---|---|---|---|
| 完全积分 | C3D20 | CHEXA(20) | SOLID186(full) |
| 减缩积分 | C3D20R | — | SOLID186(red.) |
| 杂交 | C3D20H, C3D20RH | — | u-P对应 |
Nastran的CHEXA(20)没有减缩积分选项吗？
Nastran的CHEXA(20)默认使用2×2×2（减缩）积分。有切换到完全积分的选项，但默认是减缩。也就是说Nastran的CHEXA(20) ≈ Abaqus的C3D20R。
中间节点的处理
HEX20的中间节点位于边的中点，但在曲面上是要贴合到CAD上的吧。
相关主题
なった
詳しく
報告