3次元定常熱伝導
理论与物理
三维稳态热传导基础
三维的热传导分析，和二维相比有什么不同呢？
温度场在三个方向上都会变化，因此无法对形状进行简化的问题成为分析对象。发动机缸体、模具、电子设备外壳等，现实中的许多问题本质上是三维的。
控制方程
三维稳态热传导方程为
展开后为
对于各向异性材料，有 $k_x \neq k_y \neq k_z$。
变成三维后，解析解几乎不存在了吧？
对于各面施加了简单边界条件的长方体，存在三重级数解，但在实际应用中数值解法是必不可少的。使用FEM的实体单元（四面体、六面体）进行离散化是标准方法。
边界条件类型
在三维问题中，可以为每个面设置不同的边界条件。
| 面 | 条件 | 示例 |
|---|---|---|
| 发热面 | 热流密度 q [W/m2] | IC芯片发热面 |
| 散热面 | 对流 h, T∞ | 散热器外表面 |
| 接触面 | 接触热导 | 螺栓连接部位 |
| 对称面 | 绝热 (q=0) | 利用对称性 |
| 固定温度 | T = const | 冷却水表面 |
能够为每个面改变条件，这是3D的优势呢。
是的。一维只能整体统一处理，而三维可以在每个面、每个区域设置独立的条件，从而建立更贴近现实物理的模型。
3D热传导方程的一般形式
三维稳态热传导∇·(λ∇T)+q̇=0，若λ为各向同性均质且无内热源，则简化为拉普拉斯方程。格林（1828年）引入的“格林函数”成为三维泊松方程解法的基础，后来也被转用于亥姆霍兹方程和电磁学。格林也因其自学成才的面包师之子出身而闻名。
各项的物理意义
- 蓄热项 $\rho c_p \partial T/\partial t$：单位体积的热能储存率。【日常示例】铁锅不易加热也不易冷却，而铝锅则容易加热也容易冷却——这是密度 $\rho$ 和比热 $c_p$ 的乘积（热容）的差异。热容大的物体温度变化缓慢。水的比热非常大（4,186 J/(kg·K)），因此沿海地区的气温比内陆更稳定。在非稳态分析中，此项决定了温度随时间的变化速率。
- 热传导项 $\nabla \cdot (k \nabla T)$：基于傅里叶定律的热传导。与温度梯度成比例的热流密度。【日常示例】将金属勺子放入热锅中，手柄部分也会变热——因为金属的热导率 $k$ 高，热量能快速从高温侧传递到低温侧。木勺不会变热是因为其 $k$ 值小。隔热材料（如玻璃棉）的 $k$ 值极小，即使存在温度梯度，热量也难以传递。这是将“有温差的地方就有热流”这一自然趋势公式化的结果。
- 对流项 $\rho c_p \mathbf{u} \cdot \nabla T$：伴随流体运动的热量输运。【日常示例】吹风扇感到凉爽，是因为风（流体流动）带走了体表附近温暖的空气，并提供了新鲜的冷空气——这是强制对流。暖气使房间天花板附近变暖，是因为受热空气因浮力上升的自然对流。PC的CPU散热器风扇也利用强制对流进行散热。对流是比热传导效率高得多的热量输运方式。
- 热源项 $Q$：内热源（焦耳热、化学反应热、辐射吸收等）。单位: W/m³。【日常示例】微波炉通过食品内部的微波吸收（体积发热）进行加热。电热毯的电热丝通过焦耳发热（$Q = I^2 R / V$）变暖。锂离子电池充放电时的发热、刹车片的摩擦热在分析中也作为热源考虑。与外部对“表面”施加热量的边界条件不同，热源项表示“内部”的能量生成。
假设条件与适用范围
数值解法与实现
FEM单元选择
3D热分析应该用什么单元呢？
这是三维热传导单元的比较。
| 单元类型 | 节点数 | 温度分布 | 精度 | 网格生成 |
|---|---|---|---|---|
| 4节点四面体 (TET4) | 4 | 线性 | 低 | 自动网格容易 |
| 10节点四面体 (TET10) | 10 | 二次 | 高 | 自动网格容易 |
| 8节点六面体 (HEX8) | 8 | 三线性 | 中〜高 | 需要结构网格 |
| 20节点六面体 (HEX20) | 20 | 二次 | 非常高 | 生成困难 |
在Ansys中，SOLID70(HEX8)、SOLID87(TET10)、SOLID90(HEX20)是代表性的热单元。在Abaqus中对应的是DC3D4、DC3D10、DC3D8、DC3D20。
实际工作中TET10比较稳妥吗？
考虑到与自动网格的兼容性，TET10通用性更高。但如果形状可以划分六面体网格，HEX8可以减少单元数量。利用Ansys Meshing的Multizone法或Sweep法，可以优先生成HEX网格。
大规模问题应对
子模型法具体是怎么做的呢？
先用粗糙的整体模型求得稳态解，然后将关注区域的边界面的温度映射到精细模型上求解。在Ansys Workbench中使用Submodel命令可以轻松设置。即使对整体10%的区域使用10倍精细的网格，计算成本也大约是整体细化的1/100。
FEM四面体单元的诞生
3D热分析不可或缺的四面体单元是1960年Turner等人在NASA委托研究中提出的。最初用于结构分析，但转用于热分析是在1970年代由Wilson和Bathe完善的。现在Abaqus/Standard和Ansys Mechanical中使用的C3D10（10节点二次四面体）的起源也可追溯到这个时代。
线性单元 vs 二次单元
在热传导分析中，线性单元通常也能获得足够的精度。对于温度梯度陡峭的区域（如热冲击等），推荐使用二次单元。
热流密度评估
根据单元内的温度梯度计算得出。与节点应力类似，有时需要进行平滑处理。
对流-扩散问题
当佩克莱特数较高（对流主导）时，需要迎风稳定化（如SUPG等）。纯热传导问题则不需要。
非稳态分析的时间步长
时间步长应远小于热扩散的特征时间 $\tau = L^2 / \alpha$（$\alpha$: 热扩散率）。对于急剧的温度变化，自动时间步长控制是有效的。
非线性收敛
由温度相关物性值引起的非线性通常比较温和，皮卡德迭代（直接替换法）通常就足够了。对于辐射的强非线性，推荐使用牛顿法。
稳态分析判定
当所有节点的温度变化低于阈值（例如 $|\Delta T| / T_{max} < 10^{-5}$）时，判定为收敛。
显式法与隐式法的比喻
显式法是“仅凭当前信息预测未来的天气预报”——计算速度快，但时间步长过大则不稳定（会错过风暴）。隐式法是“也考虑未来状态的预测”——即使时间步长较大也能保持稳定，但每个时间步都需要解方程，比较耗时。对于没有急剧温度变化的问题，使用隐式法并采用较大的时间步长更高效。
实践指南
形状简化指南
直接使用CAD数据的话，单元数会爆炸性增长吧？
CAD形状的清理是决定3D热分析成败的关键。
| 简化项目 | 效果 | 注意事项 |
|---|---|---|
| 去除微小圆角 | 单元数减少50% | 以0.5mm以下为基准 |
| 薄壁部分壳化 | 无需厚度方向单元 | 厚度方向梯度重要时不可用 |
| 省略螺栓孔 | 避免局部细化 | 仅限于不影响热路径的孔 |
| 利用对称性 | 1/2〜1/8模型 | 边界条件也需对称 |
是用SpaceClaim（Ansys）或Design Modeler来简化吧。
是的。Ansys Discovery Live可以在修改形状的同时实时查看温度场，从而快速判断哪些形状特征会影响温度场。
网格策略
三维稳态热传导的网格方针：
- 热源附近: 最小单元尺寸 ≤ 热源尺寸的1/5
- 远处: 可以较粗（温度梯度小）
- 材料界面: 沿界面的网格（节点共享或绑定接触）
- 薄壁部分: 厚度方向至少3层
收敛确认以什么为基准呢？
如果最高温度是关注量，那么将网格加密一倍后，最高温度变化在1%以内就足够了。但局部热流密度的收敛较慢，需要用三级或更多级的网格来确认。
汽车发动机缸盖的热分析
丰田在GR Yaris（2020年）开发中使用了3D稳态热分析，优化了铝铸造缸盖燃烧室周围的温度分布。将喷油嘴附近的最高温度比传统设计降低了约25℃，同时兼顾了抗爆震性和热效率。分析模型的节点数超过200万，在8核PC上的计算时间约为4小时。
分析流程的比喻
热分析的流程可以想象成“设计浴缸的循环加热系统”来思考。
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