Augmented Lagrangian法
理论与物理
增广拉格朗日法是什么
老师，增广拉格朗日法是罚函数法和拉格朗日乘子法的“优点结合”吗？
正是如此。它结合了罚函数法的简单性和拉格朗日乘子法的穿透零精度。
在罚函数项 $k_p g_n$ 的基础上，迭代更新拉格朗日乘子 $\lambda_n$。反复迭代可使穿透收敛至零。
即使罚函数刚度 $k_p$ 较小，也能通过迭代减少穿透呢。
对 $k_p$ 的依赖性比罚函数法小。这是其最大优点。Ansys 默认采用增广拉格朗日法。
总结
要点：
- 罚函数 + 迭代拉格朗日更新 — 优点结合
- 对 $k_p$ 的依赖性小 — 比罚函数法更稳定
- 无需额外自由度 — 比拉格朗日乘子法更高效
- Ansys 的默认方法 — 最广泛推荐的手法
Hestenes-Powell法 1969年
增广拉格朗日法（Augmented Lagrangian）是 M.R. Hestenes 和 M.J.D. Powell 于 1969 年独立发表的罚函数与拉格朗日乘子的混合方法。通过在外部迭代中更新乘子，既能避免纯罚函数法的条件数恶化，又能避免纯乘子法的大规模联立方程。其在接触有限元中的应用由 Simo 和 Laursen 在 1980 年代后期系统化。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是基于“缓慢施力故加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时能感觉到“试图恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸长更多？当然是橡皮筋。这种“难以伸长的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解是：“刚度高 = 强度高”。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，这是两个不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样理解——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……这些都是外力。这里容易犯的错误是：弄错载荷方向。本想施加“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在三维空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量以改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。现实中不会如此，因此设置适当的阻尼非常重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入为 mm 时，载荷·弹性模量也需统一为 MPa/N 系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm 系中为 tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm 系用 N，m 系也用 N 统一 |
数值解法与实现
增广拉格朗日法的实现
算法：
1. 初始 $\lambda = 0$ 时作为罚函数法求解
2. 检查穿透量 $g_n$
3. 更新 $\lambda$：$\lambda \leftarrow \lambda + k_p g_n$
4. 用更新后的 $\lambda$ 再次求解
5. 重复迭代直至 $g_n$ 足够小
原来有外层循环（$\lambda$ 更新）和内层循环（Newton-Raphson）啊。
双重迭代循环。内层满足平衡，外层满足接触约束。计算成本约为罚函数法的 1.5 至 2 倍。
求解器设置
总结
乘子更新的迭代方案
增广拉格朗日接触采用双重迭代结构：外部循环更新拉格朗日乘数 λ，内部循环求解非线性有限元解。Laursen & Simho（1993年）的公式采用乘子更新式 λ_{k+1} = λ_k + ε_N g_N（g_N：穿透量，ε_N：罚函数），并且 ε_N 可以从物理间隙容差反算设定，因此比罚函数法能更直观地进行收敛调整。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切自锁（可通过减缩积分或 B-bar 法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提升，但自由度约增加 2 至 3 倍。建议：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（自锁）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。需根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（如 ZZ 估计量）的自动细化。高效提升应力集中区域的精度。有 h 法（单元细分）和 p 法（阶次提升）。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数：$||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数：$||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数：$\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确求解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“通过反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元如同“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。二阶单元如同“柔性曲线尺”——能表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。不过，每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
增广拉格朗日法的实务
Ansys 用户常常在无意中使用增广拉格朗日法。默认设置最为稳定。
实务检查清单
航空发动机叶片微动磨损
GE Aviation 自 2008 年左右开始使用 ANSYS Mechanical 的增广拉格朗日接触进行涡轮叶片枞树型榫头微动磨损分析。结合累积损伤模型评估了相当于 10⁷ 次循环的重复接触，将 Inconel 718 制叶片的磨损深度再现精度控制在实测值 ±15 μm 以内。作为将试验品制造成本降低约 30% 的案例在学会发表。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备 CAD 模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。如果网格质量差，无论使用多么优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是否认为“计算能运行 = 结果正确”？这其实是 CAE 初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会根据给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗糙，这个答案就会与现实严重偏离。至少用三个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽视这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案，所以应该正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的“出题”是相同的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗？”“这个载荷真的是均匀分布吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
增广拉格朗日法的工具
选型指南
ANSYS ALM 实现的变迁
ANSYS 在 1990 年代后期将增广拉格朗日法（ALM）采用为 CONTA174/TARGE170 单元的默认接触算法。ANSYS 10.0（2005年）将 ALM 的收敛判定准则修订为基于接触力，大幅改善了厚板穿透问题。现行的 ANSYS Mechanical 2024 中，默认设置为可自动切换 ALM 与罚函数法的“program controlled”。
选型时最重要的三个问题
- “要解决什么问题”：增广拉格朗日法所需的物理模型·单元类型是否支持。例如，流体中 LES 支持的有无，结构中接触·大变形的支持能力会成为差异点。
- “谁使用”：新手团队适合 GUI 完善的工具，有经验者适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的自动挡（GUI）和手动挡（脚本）的区别。
- “未来扩展到什么程度”：着眼于未来的分析规模扩大（HPC 支持）、向其他部门扩展、与其他工具的联动进行选择，有助于长期的成本削减。
尖端技术
增广拉格朗日法的前沿
相关主题
なった
詳しく
報告