增广拉格朗日法
增广拉格朗日法的理论基础
什么是增广拉格朗日法
老师，增广拉格朗日法是惩罚法和拉格朗日乘数法的「优点组合」吗？
正是这样。结合了惩罚法的简便性和拉格朗日乘数法的穿透零精度的方法。
除了惩罚项 $k_p g_n$ 之外，还要迭代更新拉格朗日乘数 $\lambda_n$。重复迭代时穿透收敛到零。
惩罚刚度 $k_p$ 即使较小，也能通过迭代减少穿透，对吧。
对 $k_p$ 的依赖性比惩罚法小。这是最大的优点。Ansys的默认方法是增广拉格朗日法。
总结
要点：
- 惩罚+迭代式拉格朗日更新 — 优点组合
- 对$k_p$的依赖性小 — 比惩罚法更稳定
- 不需要额外DOF — 比拉格朗日乘数法更高效
- Ansys的默认方法 — 最广泛推荐的方法
Hestenes-Powell法 1969年
增广拉格朗日法是由M.R. Hestenes和M.J.D. Powell在1969年独立提出的惩罚法和拉格朗日乘数的混合技术。通过在外部迭代中更新乘数，既可以避免纯惩罚法的条件数恶化，也可以避免纯乘数法的大规模线性方程组求解。接触有限元的应用在1980年代后期由Simo和Laursen系统化。
增广拉格朗日法的数值计算方法
增广拉格朗日法的实现
算法：
1. 用初始 $\lambda = 0$ 按惩罚法求解
2. 确认穿透量 $g_n$
3. 更新 $\lambda$: $\lambda \leftarrow \lambda + k_p g_n$
4. 用更新后的$\lambda$再次求解
5. 重复迭代直到 $g_n$ 足够小
外部循环（$\lambda$的更新）和内部循环（Newton-Raphson），对吧。
双重迭代循环。内部达到平衡，外部满足接触约束。计算成本约为惩罚法的1.5倍到2倍。
求解器设置
总结
乘数更新的迭代方案
在增广拉格朗日接触中，外部循环更新拉格朗日乘数λ，内部循环求解非线性有限元解，形成双重迭代结构。在Laursen & Simo（1993年）的定式化中，采用乘数更新公式 λ_{k+1} = λ_k + ε_N g_N（g_N：穿透量，ε_N：惩罚），可以从物理的间隙容差反向计算ε_N，因此相比惩罚法，收敛调节更加直观。
增广拉格朗日法的实务应用
增广拉格朗日法的实务
Ansys用户往往无意识地使用增广拉格朗日法。默认设置最稳定。
实务清单
航空发动机叶片微动摩擦
通用电气航空（GE Aviation）从2008年左右开始使用ANSYS Mechanical的增广拉格朗日接触进行涡轮叶片榫形部微动摩擦磨损分析。将循环次数10⁷相当的重复接触与累积损伤模型结合，对因科镍718叶片的磨损深度预测精度达±15μm，与实测值接近。试验品制作成本降低约30%的案例已在学会发表。
增广拉格朗日法的软件比较
增广拉格朗日法工具
选择指南
ANSYS ALM实现的演变
ANSYS在1990年代后期采用增广拉格朗日法（ALM）作为CONTA174/TARGE170单元的默认接触算法。ANSYS 10.0（2005年）将ALM的收敛判定标准修改为接触力基础，大幅改善了厚板穿透问题。现在的ANSYS Mechanical 2024在自动切换ALM和惩罚法的「程序控制」设置为默认。
增广拉格朗日法的先进研究
增广拉格朗日法的先进方向
变分接触的最前沿
进入2020年代后，增广拉格朗日法与等几何分析（IGA）的结合在变分接触定式化中活跃研究。Temizer（2022年）等将基于NURBS的接触面表示与ALM统一，实现了接触压力空间分布的C¹连续表达。从前单元模型中出现的接触压力锯齿形（振荡）消失，微动疲劳寿命预测精度与实验值差异控制在20%以内。
增广拉格朗日法的软件比较
增广拉格朗日法工具
选择指南
ANSYS ALM实现的演变
ANSYS在1990年代后期采用增广拉格朗日法（ALM）作为CONTA174/TARGE170单元的默认接触算法。ANSYS 10.0（2005年）将ALM的收敛判定标准修改为接触力基础，大幅改善了厚板穿透问题。现在的ANSYS Mechanical 2024在自动切换ALM和惩罚法的「程序控制」设置为默认。
增广拉格朗日法的故障排除
增广拉格朗日法的故障
乘数更新发散的对策
增广拉格朗日法的陷阱是，若惩罚ε_N设置过大，乘数更新会产生振荡发散。2010年代的Nastran SOL 401用户曾报告「乘数在10个周期内摆动到±10⁸」。对策是将ε_N设置为接触面局部刚度（E/h）的1/10以下，并在外部循环收敛判定中加入间隙残差范数基准，几乎可以确定规避。
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错误