剛体要素
理论与物理
什么是刚体单元
老师，FEM中的“刚体单元”是什么？是不变形的单元吗？
是的。刚体单元不变形。它是将两个或更多节点“刚性地连接”起来，使一方的位移/旋转能传递给另一方的单元。
在物理上，它用来表现什么样的结构呢？
数学公式化
刚体单元作为FEM的多点约束（MPC: Multi-Point Constraint）来实现。根据独立节点（主节点）的位移 $\{u_m\}$，从属节点（从节点）的位移为：
$[T]$ 是基于刚体运动公式的位移转换矩阵。
从属节点的位移是由独立节点的位移“自动决定”的呢。
是的。从属节点的自由度会被消去（凝聚）。实质上自由度减少了。
刚体单元的类型
| 类型 | Nastran | Abaqus | 特点 |
|---|---|---|---|
| 刚性连接（全DOF） | RBE2 | RIGID BODY / COUPLING | 将所有自由度刚性地连接 |
| 加权平均（载荷分配） | RBE3 | *DISTRIBUTING COUPLING | 分配力。不增加刚度 |
| 刚体面 | RBAR | *RIGID BODY | 2节点的刚性连接 |
RBE2和RBE3完全不同吗？
本质上不同。RBE2是“刚性连接”，会增加结构的刚度。RBE3是“载荷分配”，不增加刚度。不理解这个区别会导致严重的建模错误。详情将在RBE2、RBE3的页面中讲解。
刚体单元的注意事项
刚体单元很方便，但使用错误会严重扭曲结果：
1. 刚体单元导致局部刚度过大 — 连接部位会变得不自然地硬
2. 产生应力奇点 — 刚体单元与变形单元的边界处应力不准确
3. 过约束 — 约束了不必要的自由度
刚体单元边界处的应力不可信吗？
与刚体单元连接的变形单元的最初1~2层的应力仅作参考。应评估远离该位置的应力。
总结
我来整理一下刚体单元的理论。
要点：
- 不变形的单元 — 将节点间刚性地连接
- 作为MPC实现 — 从属节点的DOF被消去
- RBE2（刚性连接）和RBE3（载荷分配）完全不同 — 严禁混淆
- 注意局部刚度过大 — 连接部位的应力不准确
- 便于不同单元间的连接 — 梁-实体、壳-实体
理解RBE2与RBE3的区别是FEM建模最重要的技能之一呢。
正是如此。能否正确区分和使用这两者，可以看出FEM工程师的水平。
刚体单元的力学基础
刚体单元是作为内部无变形的理想刚体来行为的有限单元，由特纳（M.J. Turner）等人在1960年代为NASA的宇宙结构分析而引入。数学上通过刚体变换矩阵T，由独立节点确定性地计算从属节点的全部6个自由度。实际材料会发生弹性变形，因此可以理解为刚体单元模拟了比真实刚度至少高10~100倍的弹性模量。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，但这是基于“缓慢施力所以加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉伸，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长”的性质就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷的方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时，确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样的原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 以mm输入时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
MPC（多点约束）的实现
刚体单元的MPC是如何实现的呢？
有两种方法：
1. 从属DOF的消去（转换法）
用独立节点的DOF表示从属节点的DOF，并将其从整体方程中消去。联立方程的规模会变小。Nastran的RBE2采用此方法。
2. 罚函数法
用“非常硬的弹簧”来近似刚性约束。并非完全的刚体，但实用精度足够。罚函数值过大会导致条件数恶化。Abaqus的KINEMATIC选项是转换法，PENALTY选项是罚函数法。
哪种更好呢？
转换法（KINEMATIC）是基本推荐。罚函数法主要在与接触组合时使用（为了与接触的罚函数法保持一致）。
各求解器的实现
刚体单元的MPC是如何实现的呢？
有两种方法：
用独立节点的DOF表示从属节点的DOF，并将其从整体方程中消去。联立方程的规模会变小。Nastran的RBE2采用此方法。
用“非常硬的弹簧”来近似刚性约束。并非完全的刚体，但实用精度足够。罚函数值过大会导致条件数恶化。Abaqus的KINEMATIC选项是转换法，PENALTY选项是罚函数法。
哪种更好呢？
转换法（KINEMATIC）是基本推荐。罚函数法主要在与接触组合时使用（为了与接触的罚函数法保持一致）。
| 功能 | Nastran | Abaqus | Ansys |
|---|---|---|---|
| 刚性连接 | RBE2 | RIGID BODY / COUPLING, KINEMATIC | CERIG |
| 载荷分配 | RBE3 | *COUPLING, DISTRIBUTING | RBE3(MPC) |
| 刚性连接（2节点） | RBAR | *RIGID BODY | MPC184 |
| 刚体面 | RBE2（多节点） | *RIGID BODY | TARGE170 |
刚体单元的连接模式
典型的连接模式：
梁单元与实体单元的连接
梁单元具有旋转DOF，但实体单元没有。用RBE2/RBE3连接：
- RBE2 — 梁的端点作为主节点，实体单元面上的节点作为从节点。截面作刚体运动（有时可能过硬）
- RBE3 — 梁的端点作为从节点（参考点），实体单元面上的节点作为主节点（载荷分配点）。不增加刚度（更接近实际）
RBE3是更“温和”的连接呢。
没错。RBE2类似于“硬焊接”的连接，RBE3类似于“平衡的载荷传递”连接。实际结构的螺栓连接大多更接近RBE3。
总结
我来整理一下刚体单元的数值方法。
要点：
- 转换法（KINEMATIC）是基本推荐 — 通过DOF消去，结果准确
- 罚函数法用于与接触的组合 — 近似的刚体
- 梁-实体的连接 — RBE2（硬）vs. RBE3（软）
- 连接部位的应力不准确 — 在远离1~2个单元的位置进行评估
刚体单元实现方式比较
刚体单元的实现主要有①罚函数法、②拉格朗日乘子法、③直接刚度凝聚三种方式。罚函数法实现简单，但罚系数的选择会影响解的精度。拉格朗日乘子法在数学上严格，但联立方程的规模会增大。Nastran采用直接凝聚法，通过消去从属DOF，可以在保持系统方程规模不变的情况下进行计算。
线性单元（1次单元）
在节点间进行线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切自锁（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二次单元（带中间节点）
可以表现曲线状的变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估很重要的情况。
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