随动载荷
随动载荷的理论基础
什么是追随力
老师，什么是“追随力”？
方向随变形而变化的载荷。典型例子是内压：容器变形时，压力作用面的方向（法线方向）改变，压力的方向也随之改变。
追随力的例子
| 载荷 | 追随力？ | 理由 |
|---|---|---|
| 内压/外压 | 是 | 跟随面的法线方向 |
| 重力 | 否 | 始终向下 |
| 火箭推力 | 是 | 跟随机体方向 |
| 风荷载 | 否（通常） | 固定方向 |
| 接触力 | 是 | 跟随接触面法线 |
内压是追随力…膨胀时面积改变，力的大小也会变化呢。
面积变化 + 方向变化两者都是非线性效应。NLGEOM=YES 时会自动考虑追随力。
总结
Ziegler 悖论与追随力的不稳定性
追随力（外力随变形而追随的力）的稳定性以 Wilhelm Ziegler（苏黎世联邦理工学院）在1952年提出的悖论而闻名。存在一种“Ziegler 悖论”：添加粘性阻尼本应使连续体稳定，却反而使其失稳。这显示了追随力系统中静态稳定性与动态稳定性不一致的奇异性，并与颤振型失稳（Beck 柱问题）的分析密切相关。
数值解法与实现
FEM中的追随力
在 NLGEOM=YES 的非线性分析中，每次迭代：
1. 根据变形后的形状重新计算面的法线方向
2. 压力 × 变形后的面积 = 追随力
3. 反映到整体方程的右边
Abaqus: *DLOAD, P（压力）在 NLGEOM=YES 时自动成为追随力。
与非追随力的比较
大变形时，内压是否为追随力可能导致结果有10~20%的差异（如气球膨胀等）。NLGEOM=NO 时，内压固定作用于初始面。
总结
追随力的有限元公式化与载荷刚度矩阵
要将追随力纳入FEM，需要在切线刚度中加入依赖于变形的“载荷刚度矩阵”（Kσ_load）。均匀压力（法线方向追随力）的载荷刚度矩阵会成为反对称矩阵。通常的全牛顿法（Newton-Raphson）每次分析都会更新载荷刚度，因此能自动考虑追随力，但需注意修正牛顿法因更新频率可能导致误差。
随动载荷随动载荷实践指南
追随力的实务
追随力重要的问题：
- 压力容器的大变形（膨胀）
- 气球/安全气囊的膨胀
- 火箭的推力方向
- 制动器的摩擦力（方向随变形变化）
实务检查清单
固体火箭的推力追随效应
固体火箭的推力喷管是变形机体始终产生向后合力的追随力的典型例子。日本宇宙航空研究开发机构（JAXA）在艾普西隆火箭（2013年首次发射）的飞行载荷分析中应用了包含追随力的非线性动态分析，并将滚转程序时的结构载荷保守地高估3~5%纳入设计基准。
随动载荷软件与求解器比较
工具
所有求解器在 NLGEOM=YES 时都支持追随力。没有差异。
追随力的发现：欧拉的压缩屈曲研究
追随力（追随载荷）问题在莱昂哈德·欧拉于1744年研究杆的压缩屈曲时已萌芽性地出现。ABAQUS 6.14 之后可通过 `FOLLOWER FORCE` 选项明确指定追随载荷，在火箭发动机推力分析中，与不考虑喷嘴燃烧气体压力的追随性相比，有案例显示屈曲载荷最大降低了23%。
尖端技术
尖端研究
非保守力系的变分原理：Hamilton原理的扩展
追随力不是保守力，因此无法使用通常的势能最小化原理。需要使用拉格朗日方程的扩展版——哈密顿变分原理（虚功原理），将非保守力的功明确地纳入。1970年代 Bolotin（莫斯科）的研究将概率论引入非保守力的稳定性分析，奠定了动态稳定性理论的基础。
随动载荷常见问题与调试
故障
追随力分析中随载荷增加刚度降低的情况
在追随力分析中，若牛顿-拉弗森法收敛恶化，且随着载荷增量增加，表观刚度降低，可能是载荷刚度矩阵的符号或大小不当。使用 Abaqus 的压力追随力（FOLLOWER FORCE TYPE=PRESSURE）时，建议将迭代收敛判定严格设置为 1e-6 以下，并确认每个载荷步的残差。将载荷步细分为 5~10 分之一以确认稳定性较好。