随动载荷
理论与物理
什么是追随力
老师，什么是“追随力”？
方向随变形而变化的载荷。典型例子是内压：容器变形时，压力作用面的方向（法线方向）改变，压力的方向也随之改变。
追随力的例子
| 载荷 | 追随力？ | 理由 |
|---|---|---|
| 内压/外压 | 是 | 跟随面的法线方向 |
| 重力 | 否 | 始终向下 |
| 火箭推力 | 是 | 跟随机体方向 |
| 风荷载 | 否（通常） | 固定方向 |
| 接触力 | 是 | 跟随接触面法线 |
内压是追随力…膨胀时面积改变，力的大小也会变化呢。
面积变化 + 方向变化两者都是非线性效应。NLGEOM=YES 时会自动考虑追随力。
总结
Ziegler 悖论与追随力的不稳定性
追随力（外力随变形而追随的力）的稳定性以 Wilhelm Ziegler（苏黎世联邦理工学院）在1952年提出的悖论而闻名。存在一种“Ziegler 悖论”：添加粘性阻尼本应使连续体稳定，却反而使其失稳。这显示了追随力系统中静态稳定性与动态稳定性不一致的奇异性，并与颤振型失稳（Beck 柱问题）的分析密切相关。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施力因此加速度可忽略”的假设。冲击载荷或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高 = 强度高”是不对的。刚度是“不易变形性”，强度是“不易破坏性”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在坐标系旋转的3D空间中确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化为热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，因此设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 以 mm 输入时，载荷·弹性模量也需统一为 MPa/N 系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm 系中为 tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm 系用 N，m 系也用 N 统一 |
数值解法与实现
FEM中的追随力
在 NLGEOM=YES 的非线性分析中，每次迭代：
1. 根据变形后的形状重新计算面的法线方向
2. 压力 × 变形后的面积 = 追随力
3. 反映到整体方程的右边
Abaqus: *DLOAD, P（压力）在 NLGEOM=YES 时自动成为追随力。
与非追随力的比较
大变形时，内压是否为追随力可能导致结果有10~20%的差异（如气球膨胀等）。NLGEOM=NO 时，内压固定作用于初始面。
总结
追随力的有限元公式化与载荷刚度矩阵
要将追随力纳入FEM，需要在切线刚度中加入依赖于变形的“载荷刚度矩阵”（Kσ_load）。均匀压力（法线方向追随力）的载荷刚度矩阵会成为反对称矩阵。通常的全牛顿法（Newton-Raphson）每次分析都会更新载荷刚度，因此能自动考虑追随力，但需注意修正牛顿法因更新频率可能导致误差。
线性单元（一阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二阶单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初是粗略答案，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
一阶单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，因此精度有限。二阶单元是“柔性曲线”——能表现曲线变化，即使相同网格密度，精度也显著提高。不过，每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
追随力的实务
追随力重要的问题：
- 压力容器的大变形（膨胀）
- 气球/安全气囊的膨胀
- 火箭的推力方向
- 制动器的摩擦力（方向随变形变化）
实务检查清单
固体火箭的推力追随效应
固体火箭的推力喷管是变形机体始终产生向后合力的追随力的典型例子。日本宇宙航空研究开发机构（JAXA）在艾普西隆火箭（2013年首次发射）的飞行载荷分析中应用了包含追随力的非线性动态分析，并将滚转程序时的结构载荷保守地高估3~5%纳入设计基准。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认了网格收敛性吗？是不是认为“计算能运行 = 结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会对给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实严重偏离。至少用三个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽视这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以肯定正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的“出题”是相同的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗？”“这个载荷真的是均匀分布吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
工具
所有求解器在 NLGEOM=YES 时都支持追随力。没有差异。
追随力的发现：欧拉的压缩屈曲研究
追随力（追随载荷）问题在莱昂哈德·欧拉于1744年研究杆的压缩屈曲时已萌芽性地出现。ABAQUS 6.14 之后可通过 `FOLLOWER FORCE` 选项明确指定追随载荷，在火箭发动机推力分析中，与不考虑喷嘴燃烧气体压力的追随性相比，有案例显示屈曲载荷最大降低了23%。
选定时最重要的三个问题
- “要解什么”：所需的物理模型·单元类型是否支持追随力（追随载荷）。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的支持能力会有差异。
- “谁来使用”：新手团队适合GUI完善的工具，有经验者适合脚本驱动的灵活工具。类似于汽车的AT车（GUI）和MT车（脚本）的区别。
- “要扩展到什么程度”：着眼于未来的分析规模扩大（HPC支持）、向其他部门展开、与其他工具的联动，这样的选择有助于长期降低成本。
尖端技术
尖端研究
非保守力系的变分原理：Hamilton原理的扩展
追随力不是保守力，因此无法使用通常的势能最小化原理。需要使用拉格朗日方程的扩展版——哈密顿变分原理（虚功原理），将非保守力的功明确地纳入。1970年代 Bolotin（莫斯科）的研究将概率论引入非保守力的稳定性分析，奠定了动态稳定性理论的基础。
故障排除
故障
追随力分析中随载荷增加刚度降低的情况
在追随力分析中，若牛顿-拉弗森法收敛恶化，且随着载荷增量增加，表观刚度降低，可能是载荷刚度矩阵的符号或大小不当。使用 Abaqus 的压力追随力（FOLLOWER FORCE TYPE=PRESSURE）时，建议将迭代收敛判定严格设置为 1e-6 以下，并确认每个载荷步的残差。将载荷步细分为 5~10 分之一以确认稳定性较好。
当觉得“分析结果不符”时
- 首先深呼吸——慌张地随机更改设置会使问题更复杂
- 创建最小再现案例——以最简单的形式再现追随力（追随载荷）的问题。“减法式调试”最有效率
- 每次只改变一个条件再执行——同时进行多项更改会不知道哪个起了作用。与科学实验相同的“对照实验”原则
- 回归物理本质——如果计算结果出现“物体逆重力漂浮”等非物理现象，应怀疑输入数据存在根本性错误
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