大変形（幾何学的非線形）分析
大変形（幾何学的非線形）分析的理论基础
什么是大变形
老师，“大变形”分析和普通的FEM有什么区别？
通常的线性FEM假设微小变形：变形前和变形后的形状“几乎相同”。大变形分析处理形状因变形而发生巨大变化的问题。在变形后的形状上评估平衡。
几何非线性的来源
三种非线性效应：
1. 大应变（large strain） — 应变不是微小（$\varepsilon << 1$）。橡胶等
2. 大旋转（large rotation） — 单元的旋转不小。梁或壳体的大变形
3. 追随力（follower force） — 载荷方向跟随变形。压力载荷等
线性分析中这些都被忽略了呢。
线性分析的假设：$\varepsilon << 1$、旋转$\theta << 1$、载荷作用于初始形状。其中任何一条不成立就需要NLGEOM=YES（大变形选项）。
何时需要NLGEOM
| 条件 | 需要NLGEOM？ |
|---|---|
| 应变 > 5% | 必须 |
| 位移/尺寸比 > 10% | 必须 |
| 旋转角 > 10° | 必须 |
| 压力载荷（面积变化大） | 需要 |
| 屈曲后行为 | 必须 |
| 橡胶/超弹性 | 必须 |
位移超过尺寸的10%就需要大变形。
板厚1 mm的板挠曲超过0.1 mm就需要大变形。意外地频繁需要。
NLGEOM的设置
总结
要点：
- 在变形后的形状上评估平衡 — 线性分析保持初始形状不变
- 大应变＋大旋转＋追随力 — 三种非线性效应
- 位移/尺寸比 > 10% 时必须 — 比想象中更频繁需要
- NLGEOM=YES（Abaqus）, SOL 106/400（Nastran）, NLGEOM ON（Ansys）
Green和Almansi的有限应变
有限变形理论需要“当前构型”和“参考构型”两个概念。Green-Lagrange应变（基于参考构型）和Almansi应变（基于当前构型）在微小变形时一致，但当拉伸率超过1.2倍时会产生10%以上的差异。Green和Almansi在1900年代独立提出的这两种应变的使用区别，直接关系到Total Lagrangian（参考构型）和Updated Lagrangian（当前构型）的FEM公式化差异。
数值解法与实现
Newton-Raphson法
大变形分析的基本算法是？
Newton-Raphson法：将载荷以增量形式施加，在每个增量中迭代地满足平衡。
1. 载荷增量 — 将总载荷分成 $n$ 次施加
2. 平衡迭代 — 在每个增量中进行Newton-Raphson迭代，直到内力与外力一致
3. 切线刚度矩阵更新 — 基于变形后的形状重新计算刚度
每个增量都要反复求解联立方程组。比线性分析重得多。
线性分析求解一次联立方程组。大变形分析是$n$增量×$m$迭代次的联立方程组求解。计算成本是10〜100倍。
总体拉格朗日法 vs. 更新拉格朗日法
Abaqus的NLGEOM=YES是UL。Nastran的SOL 106基于TL。
总结
大变形分析的弧长法与突跳追踪
当载荷-位移曲线出现“回退（snap-back）”时，通常的载荷控制无法追踪。Riks法（弧长法）是KemperRiks于1972年提出的方法，可以同时增量载荷和位移，追踪到不稳定平衡路径。从1980年代开始，壳体突跳、橡胶密封件屈曲变形等工业分析中的应用，已作为Abaqus的RIKS步骤标准化。
大変形（幾何学的非線形）分析大変形（幾何学的非線形）分析实践指南
大变形实务
需要大变形分析的典型问题：
| 问题 | 大变形的理由 |
|---|---|
| 橡胶零件 | 应变100%以上 |
| 钣金成形 | 大应变＋大旋转 |
| 电缆·绳索 | 几何刚度变化 |
| 膜结构 | 初始形状“平坦”，使用时大变形 |
| 屈曲后 | 变形后的形状重要 |
| 医疗设备（支架） | 扩张时的大变形 |